2021高考数学二轮复习三核心热点突破专题三立体几何第3讲立体几何中的向量方法课件20210312297.ppt

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1、第3讲　立体几何中的向量方法高考定位以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.真题感悟1.(2020·新高考山东卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.(1)证明因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD.又底面ABCD为正方形，所以AD⊥DC，又PD∩DC＝D，所以AD⊥平面PDC.因为AD∥B

2、C，AD⊄平面PBC，所以AD∥平面PBC.由已知得l∥AD，因此l⊥平面PDC.则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，P(0，0，1)，设n＝(x，y，z)是平面QCD的法向量，设PB与平面QCD所成角为θ，(1)证明：PA⊥平面PBC；(2)求二面角B－PC－E的余弦值.因此PA2＋PB2＝AB2，从而PA⊥PB.又PA2＋PC2＝AC2，故PA⊥PC.又PB，PC⊂平面PBC，PB∩PC＝P，所以PA⊥平面PBC.考点整合1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2

3、)，v＝(a3，b3，c3)，则(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算热点一　利用空间向量证明平行、垂直【例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.证明：(1)BE⊥DC；(

4、2)BE∥平面PAD；(3)平面PCD⊥平面PAD.证明　依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).由E为棱PC的中点，得E(1，1，1).(2)因为AB⊥AD，又PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又BE⊄平面PAD，所以BE∥平面PAD.探究提高1.利用向量法证明平行、垂直，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数

5、乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的定理，如在(2)中忽略BE⊄平面PAD而致误.【训练1】如图，在直三棱柱ADE－BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点.证明：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.证明(1)由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.∵棱柱ADE－BCF是直三棱柱，且OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.(2)在第(1)问的空间直角坐标系中，设平面MDF与平面EFCD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2).∵n1·n2

6、＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD.热点二　线线角、线面角的求解【例2】(2020·浙江卷)如图，在三棱台ABC－DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC.(1)证明：EF⊥DB；(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值.(1)证明如图(1)，过点D作DO⊥AC，交直线AC于点O，连接OB.图(1)由平面ACFD⊥平面ABC，得DO⊥平面ABC，所以DO⊥BC.所以BC⊥平面BDO，故BC⊥DB.由ABC－DEF为三棱台，得BC∥EF，所以EF⊥DB.(2)解　法一如图(1)，过点O作OH⊥BD，交直线BD于点H，连接CH.由ABC－DEF为三棱台

7、，得DF∥CO，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角.由BC⊥平面BDO，得OH⊥BC，故OH⊥平面DBC，所以∠OCH为直线CO与平面DBC所成角.法二　由ABC－DEF为三棱台，得DF∥CO，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角，记为θ.如图(2)，以O为原点，分别以射线OC，OD为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz.图(2)由题意知各点坐标如下：O(0，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2