2015年考研数学基础阶段-高等数学讲义.doc

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2、user.qzone.qq./1030272860/main?ptlang=2052考研咨询热线：400—668—2155咨询QQ:(1)2655243844(2)1924192937200/200优选模块一：函数4模块二：极限16模块三：连续35模块四：可导与可微43模块五：导数的计算49模块六：微分中值定理62模块二：导数的应用70模块八：不定积分88模块九定积分104模块十定积分的几何应用118模块十一向量代数和空间解析几何131模块十二多元函数微分学141模块十三偏导数的计算149200/2

3、00优选模块十四多元函数微分学的应用160模块十五：二重积分165模块十六：多元函数积分学（数学一）180模块十七:微分方程202模块十八常数项级数221模块十九幂级数230模块一：函数一．函数的概念【定义1.1】若为一个非空实数集合，设有一个对应法则，使得对每一个都有一个唯一确定的实数与之对应，则称这个对应法则为定义在上的一个函数，或称变量是变量的函数，记作.其中称为自变量，称为因变量，集合称为函数的定义域，也可以记作.对于所对应的的值，记作或，称为当时函数的函数值.全体函数值组成的集合，称为函数

4、的值域，记作.注：1）两个函数相等当且仅当其定义域与对应法则均相等.200/200优选2)在没有特别指定的情况下，函数的定义域取自然定义域，即使得函数运算有意义的自变量的取值X围.易知，人为指定的定义域必为自然定义域的子集.常见的函数的定义域如下：二．函数的运算1、四则运算2、复合函数设与为两个函数，若的值域包含于的定义域，则可以定义为函数与的复合函数，记作或.【例1】已知且求及其定义域．答案：【例2】设，试求与200/200优选答案：【例3】（2001—2）则=（）01．答案：3、反函数（1）反函

5、数的定义设为定义在上的一个函数，其值域为.若对于每一个，均有唯一确定的使得与之对应，则将该对应法则记作，并这个定义在上的函数称为函数的反函数，或称它们互为反函数.（2）存在反函数的充要条件函数存在反函数的充要条件是，对于定义域中任意两个不同的自变量，有.（3）反函数的性质ⅰ）函数与其反函数的图像关于直线对称.200/200优选ⅱ）设函数的定义域为，值域为，若在上单调递增（或递减），则在上存在反函数，且在上单调递增（或递减）.三．基本性质1、单调性（1）定义对于函数，若在某区间内的任意两点，均满足（或

6、），则称函数在上单调递增（或单调递减），并称为的一个单调增区间（或单调减区间）.若对区间内的任意两点均有（或），则称函数在上单调不减（或单调不增）.（2）性质①若均为增函数（或减函数），则亦为增函数（或减函数）.②设为增函数，若常数，则为增函数；若常数，则为减函数.③若函数与增减性相同，则为增函数；若函数与增减性相反，则为减函数.2、周期性200/200优选（1）定义对于函数，若存在正数，使得对内的任意一点都有，则称为一个周期函数，而为的一个周期.易知若为的一个周期，则对任意的整数，亦为的周期.在的

7、所有周期中，我们把其中最小的正数称为最小正周期.注：常见周期函数及其最小正周期：（2）性质①若以为最小正周期，则对任意的非零常数，仍然以为最小正周期，以为最小正周期.②若都以为周期，则仍以为周期（）.注意此时最小正周期有可能缩小，如都以为最小正周期，但以为最小正周期.3、奇偶性（1）定义对于函数，若对内的任意一点，均有（或），则称为一个偶函数（或奇函数）.200/200优选（2）常见的奇偶函数①常见的奇函数：②常见的偶函数：（3）性质①偶函数的图像关于轴对称，奇函数的图像关于原点对称②若均为奇函数（

8、或偶函数），则对任意的常数，仍为奇函数（或偶函数）③若奇偶性相同，则为偶函数；若奇偶性相反，则为奇函数④对于任意定义在对称区间上的函数，、与均为偶函数；而为奇函数⑤任何定义在对称区间上的函数均可写成一个奇函数与一个偶函数之和,.4、有界性（1）定义：设为一个函数，若存在一个实数，使得对内任意的一点，均有，则称函数在内有上界，并称为函数在内的一个上界；若存在一个实数，使得对内任意的一点，均有，则称函数在内有下界，并称为函数在200/200优选内的一个下界.若函数在内既有