板壳力学ch5-大挠度理论.ppt

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1、68-1平板理论第五章薄板的大挠度理论平板理论大挠度(也称为几何非线性?)问题的理论描述；经典求解方法。仍为小应变问题(Largedeformation,deflection,displacement)Mar.2012板壳结构68-2§5.1基本假定平板理论1)板单元的荷载与内力Mar.2012板壳结构68-32)基本假定(1)板的挠度w与板厚t为同一数量级，但与板的平面尺寸相比较，仍为小量；(2)与挠度w相比较，中面位移u、v是很小的量；(3)变形前垂直于中面的直线，变形后仍为直线，且垂直于变形

2、后的中面，并保持原长；保持原长：意味着z=0，板厚度不变；变形后仍为直线：意味着yz=zx=0，直法线假定；由于u、v引起的面内伸缩一致。(4)正应力z与x、y、xy相比，属于小量。平板理论Mar.2012板壳结构68-4平板理论与小挠度理论的不同点：中面内各点,由于挠度w将产生面内(纵向)位移u、v;由于中面位移u、v,将产生中面应变和应力；板内各层由于u、v产生伸缩变形一致。小挠度理论大挠度理论Mar.2012板壳结构68-5§5.2薄板大挠度弯曲的基本方程5.2.1中面应变分量

3、与应变协调方程设坐标系oxy与板中面重合，z轴向下为正。当平板弯曲时，中面上点P(x,y,z)的位移为u、v、w，在x,y方向的正应变为x、y,剪应变为xy,中面的曲率及扭率为Kx、Ky。平板理论Mar.2012板壳结构68-6平板理论1)中面的曲率及扭率根据直法线假定;且薄板各层由于u、v产生的伸缩变形是均匀的;u、v对挠曲变形w没有影响。因而，大变形条件下，挠曲变形模式与小挠度理论中相同，故此，两种理论下，中面曲率和扭率表达式相同。即Mar.2012板壳结构68-7平板理论2)中面应变中

4、面应变x、y、xy，仅由u、v、w产生。Mar.2012板壳结构68-8平板理论(1)由u、v产生的应变①微元的AB线变形变形前长度为dx，变形后长度为ds1由此长度变化产生的应变为Mar.2012板壳结构68-9平板理论②微元的AC线变形变形前长度为dy，变形后长度为ds2。由此，同理可得dy长度变化产生的应变Mar.2012板壳结构68-10平板理论③微元的AB、AC线角变形AB线角变形BC线角变形则，剪应变为Mar.2012板壳结构68-11平板理论(2)由w产生的应变微元的AB线因w

5、产生的长度变化，变形后长度为ds3；AC线因w产生的长度变化，变形后长度为ds4。Mar.2012板壳结构68-12平板理论①微元AB线因w产生的长度变化，变形后长度为ds3由此长度变化产生的应变为Mar.2012板壳结构68-13平板理论②微元AC线因w产生的长度变化，变形后长度为ds4由此长度变化产生的应变为Mar.2012板壳结构68-14平板理论③微元AB、AC线因w产生的角变形xy由上节几何关系可求得则(A)Mar.2012板壳结构68-15平板理论BAC变形前为直角(/2),变

6、形后为/2-xy,则由余弦定理可求得(C)因为xy为小变形，即有则式(B)简化为(B)Mar.2012板壳结构68-16平板理论由式(A)=式(C)可得到经过简化可得因w产生的剪应变Mar.2012板壳结构68-17平板理论(3)总应变大变形条件下，薄板中面上的应变几何非线性项Mar.2012板壳结构68-18平板理论大变形条件下，薄板上距中面为z的点的变形Mar.2012板壳结构68-19平板理论由直法线假定,得到大变形条件下,薄板上距中面为z的点的应变Mar.2012板壳结构68-2

7、0平板理论大变形条件下，薄板的应变模式Mar.2012板壳结构68-21平板理论大变形条件下，薄板上距中面为z的点的应变m=membrane薄膜(合力作用在面内)；b=bending弯曲(合力作用在面外)。Mar.2012板壳结构68-22平板理论3)应变协调方程——相容方程(中面连续条件)x、y、xy是u、v、w的函数,u、v、w是坐标x、y的函数，则x、y、xy相互关联。对x关于y求导两次，对y关于x求导两次，对xy关于x、y各求导一次，得到上式为薄板大挠度弯曲中面应变协调方

8、程，或称为中面连续条件。满足连续条件，中面不发生撕裂，也不发生皱褶。Mar.2012板壳结构68-23平板理论5.2.2应力分量、内力、内力矩1)应力分量由虎克定律及小挠度理论的前两个假定可得,距中面为z的点的应力为Mar.2012板壳结构68-24平板理论其中，x、y、xy为中面应力，称为薄膜应力。Mar.2012板壳结构68-25平板理论大变形条件下，薄板的应力模式Mar.2012板壳结构68-26平板理论大变形条件下，薄板上距中面为z的点的应力Mar.2012板壳结构6