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1、数理统计基本概念§1.1总体与样本一、 总体与个体总体指研究对象的某项数量指标值的全体。组成总体的每个元素称为个体。由于每个个体的出现带有随机性，即相应的数量指标值的出现带有随机性。从而可把此种数量指标看作随机变量，我们用一个随机变量及其分布来描述总体。为此常用随机变量的符号或分布的符号X,Y,Z…来表示总体。例1.1研究某灯泡的使用寿命时,总体可用随机变量X来表示,或用其分布函数F(x)表示。2二、样本为了推断总体分布及其各种特征，就必须从总体中按一定法则抽取若干个体进行观测或试验，以获得有关总体的信息.这一抽取过程称为抽样.所抽取的部分个体称为样本,样本中个
2、体的数目称为样本容量.例如容量为n的样本可以看作是n维随机变量(),其观察值为().例1.2研究某地区学龄前儿童发育情况,人们关心的是其体重X和身高Y这两个数量指标,则此总体就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数F(x,y)表示.3四、从样本去认识总体⑴频数频率分布表及其图示例1.4我们通常饮用的矿泉水有19个指标.某市技术监督局一次抽查了58批矿泉水,记录每一批矿泉水的每个指标是否合格,从中可统计出每批矿泉水不合格指标的个数X.这里X是一个离散型随机变量,其一切可能取值为0,1,…19。58批矿泉水的指标不合格数构成了一个容量为58的样本的观察值,每个可取
3、0,1,…,19中某个值,将它们整理后列成表1.1.17表1.1.158批矿泉水不合格指标数的频率、频数分布表89(2)经验分布函数样本直方图可以形象地去描述总体概率密度函数大致形状,经验分布函数将可以用来描述总体分布函数的大致形状.定义1.1.1设总体X的分布函数为F(x),从中获得的样本观察值为,将它们从小到大排列成,令称为该样本的经验分布函数.10例1.5写出经验分布函数某食品厂用自动装罐机生产净重量为345克的午餐肉罐头,由于随机性,每个罐头的净重有差别,现从中随机取10个罐头,其净重如下:344,336,345,342,340,338,344,343,3
4、44,343,求经验分布函数.11§1.2统计量及其分布1.定义1.2.1设是取自某总体的一个容量为n的样本,假如样本函数中不含任何未知参数,则称T为统计量.统计量的分布称为抽样分布.2.常用的几个统计量设是来自总体X的样本⑴样本均值样本均值是反映总体数学期望所在位置信息的一个统计量,是总体数学期望的一个很好的估计.12⑵样本方差样本标准差样本方差与样本标准差反映了数据取值分散与集中的程度,即反映了总体方差与标准差的信息.⑶样本k阶(原点)矩样本k阶中心矩它们分别反映了总体k阶(原点)矩与k阶中心矩的信息.13⑷样本偏度SK反映了总体分布密度曲线的对称性信息.当S
5、K>0时,分布的形状是右尾长,称为正偏的;当SK<0时,分布的形状是左尾长,称为负偏的.⑸样本峰度KU反映了总体分布密度曲线在其峰值附近的陡峭程度的信息,当KU>0时,分布密度曲线在其峰比正态分布来得陡;当KU<0时,比正态分布来得平坦.14⑹次序统计量被称为样本的第i个次序统计量,它是样本的满足如下条件的函数:每当样本得到一组观察值()时,将它们从小到大排列为,第i个值便是的观察值,称为该样本的次序统计量.又称为该样本的最小次序统计量,称为该样本的最大次序统计量.15⑺样本极差若样本容量为n,则样本极差它反映了样本取值范围的大小,也反映了总体取值分散与集中的程度
6、.极差常在小样本(n≤30)场合使用,而在大样本场合很少在实际中使用.这是因为极差仅使用了样本中两个极端点的信息,而把中间的信息都丢弃了,当样本容量越大时,丢弃的信息也就越多,从而留下的信息过少,其使用价值就不大了.16(8)样本p分位数和中位数定义设是来自总体F(x)样本,为该样本的次序统计量.为该样本的p分位数(或p分位点).称为样本中位数,显然有对于,称17第一四分位数第三四分位数18例2设是F(x)的样本,此种统计量有个,加起来平均得:令有从中任选两个分量和分别为总体均值与方差,19203.几种常用的分布族⑴分布Ⅰ定义:1.2.2设为相互独立的随机变量,且
7、均服从标准正态分布N(0,1),则称随机变量服从自由度为n的分布,记作自由度可理解为平方和中独立变量的个数.Ⅱ分布性质(1)设,则E(X)=n,D(X)=2n.(2)可加性:设,,且X与Y独立,则21下图描绘了分布密度函数在n=5,10,20时的图形.22(2)t分布①定义1.2.3:设X~N(0,1),,且X与Y独立,则称随机变量所服从的分布为t分布,记为T~t(n),称n为自由度.23(3)F分布①定义1.2.4:设,,且X与Y独立,则称随机变量服从自由度为(n,m)的F分布,记作.图1.2.4描绘了的密度函数曲线24(4)Γ分布族定义1.2.5:定义在正实数
8、上,且用密
