最新数学物理方程反问题讲稿..教学讲义ppt课件.ppt

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1、数学物理方程反问题讲稿..2021/9/152什么是反问题应用背景具体实例2021/9/152什么是反问题耳朵能“听出”鼓的形状吗？仅仅通过鼓的声音能否判断出鼓的形状？问题最早由丹麦著名物理学家Lorentz在1910年的一次讲演中提出，它的背景来自于射线理论。一个物体的音色可以由一串谱来确定，它们在物理上对应着物体的固有频率。“盲人听鼓”即是要求通过已知的谱来确定一个鼓面的形状。经过数学家们的演算给出了否定的答案。但是，从鼓声中我们确实能得到相当多的形状信息：我们能够“听”出鼓的面积有多大、周边有多长甚至鼓的内部是否有洞、有几个洞。2021/9/1532021/9/15

2、7工业生产离不开产品设计，如何设计出优质产品使之更好地实现其功能，是关系到厂家信誉和企业生存的大问题。在这方面，反问题研究可以为企业家出谋划策。事实上，最早的反问题研究就是起源于定向设计问题。我们知道，单摆的等时性只是在小角度的假设下才近似成立。能不能找到一种特殊轨线的摆，使它严格满足等时性？Huygens于1673年提出并解决了这一问题，这种特殊的轨线就是旋轮线，它的方程为当代工业产品的极大丰富为反问题的研究提供了广阔的用武之地，许多工业设计问题是相当困难的，需要用到高深的数学手段。例如，国外的光学仪器厂家提出：能否设计一种光栅，利用其非线性衍射效应产生出高能量的单色射

3、线？这就是一2021/9/157个定向设计问题，它要求数学家利用推导和计算手段构造出所需要的曲面（光栅）形状。定向设计的应用相当广泛。比如说：一个城市的某条街道车流量很大，不堪负荷，怎样通过铺设新的路段来进行分流？在军事行动中如何对不同种类的炮火进行分布以达到特定的轰炸效果？这类问题往往涉及各种事物的组合、分配布局，要求在各种相互制约、相互影响的因素中寻找出最佳方案，为领导的决策提供依据。2021/9/1582021/9/159给你一只管子，不允许直接进入内部测量，你能算出里面的形状吗？如果管子是轴对称的，这时只需要知道内部的截面半径就可以了。美国贝尔电话实验室的Sond

4、hi和Gophinath提供了一个方法：在管子的一边发出声音，用仪器测量管口的位移速度和压力。通过测量结果就可以推知管内的截面半径。这个例子，它实际上暗示了许多不能直接测量的物性探测问题可以通过类似的间接方法来解决。我们通常说“上天入地”都是很困难的事情，可是在一些情况下似乎必须“入地”才能解决问题，比如说石油勘探。石油通常埋在几千米的地下，无法直接观察油田的位置和储量，靠试打井的办法来探测不但费用昂贵（一口井的代价要上千万元），而且效率2021/9/159极低（只能探测到井附近的局部信息）。一个可行的办法是通过地面爆炸向地下发射地震波，同时接收地层的反射波信号。可以想象

5、，地面接收到的反射信号中含有地下的物性结构信息（地层的密度、声速等等），利用数学手段将这些信息提取出来，就可以对地下的油储及其分布作出科学的判断。类似的探测方法可以应用于许多方面，如：农用土壤分析、地下水勘查，甚至于在考古发现上也有应用。位于三峡库区的四川省云阳县故陵镇有一个大土包，相传为楚国古墓，但是历经三千余年的变迁，已经难以确认了。科技工作者在地表利用地震波法、高精度磁法、电场岩性探测和地化方法四种手段进行探测，不但确认了古墓的存在，而且得到了关于古墓的埋藏深度、形状、大小甚至墓道的准确信息，为抢救和保护文物作出了贡献。2021/9/15102021/9/1511如

6、果把下落的物体用扫描射线替代，从另一个角度来看它为我们提供了从射线的走时响应反推其传播轨迹的方法，将不同轨迹射线的反演结果组合起来就能得到传播介质的内部形态信息。本世纪初，Hebglotz和Wiechebt应用Abel型反演方法解决了在一定对称条件下通过地震波的走时曲线来反推地层内部形貌的方法。据此Mohobovic（1909年）发现了地壳与地幔之间的断层。现在，利用地震波的接收信号通过成像来考察地层地貌形态已经成为地球物理勘探最为重要的手段。例如，通过走时成像，可以得到地震波在不同深度的传播速度；而在已知速度的前提下，利用声波方程或其单程波方程偏移成像方法，又可以得到反

7、射界面的位置和形状。2021/9/1511成像的另一个重要应用是医学上的计算机层析成像（CT），这是X光射线自Roentgen发明（获1900年诺贝尔奖）以来在医疗诊断上的重大进展，其发明人Hounsfield和Cormack因此获得了1979年的诺贝尔医学奖。CT技术是医学、电子技术、计算机技术和反演数学相结合的产物，它利用计算机来对穿越人体的X射线信号进行处理，来重建体内的结构信息，生成透视图象供医疗诊断参考，其核心算法的数学基础是二维Radon变换。继之而起的是基于三维Radon变换的核磁共振成像，在诊断效果和无伤害性方