最新微分方程建模理论概要教学讲义ppt.ppt

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1、微分方程建模理论概要专科组常见的微分方程模型：2003年，C题：SARS的传播常微分方程组或差分方程组2004年，C题：饮酒驾车线性常微分方程组2011年，C题：企业退休职工养老金制度的改革常微分方程，阻滞增长模型实际问题需寻求某个变量y随另一变量t的变化规律：y=y(t).直接求很困难建立关于未知变量、未知变量的导数以及自变量的方程建立变量能满足的微分方程？哪一类问题一、微分方程模型：2021/9/15（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似

2、反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。三、微分方程建模步骤1、翻译或转化：在实际问题中许多表示导数的常用词，如“速率”、‘增长”等．2、建立瞬时表达式：根据自变量有微小改变△t时，因变量的增量△W，建立起在时段△t上的增量表达式，令△t→0，即得到的表达式．3、配备物理单位：在建模中应注意每一顷采用同样的物理单位．4、确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这些给定的条

3、件和微分方程一起列出。案例1物体冷却问题一个较热的物体置于室温为180c的房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后降到500c.想知道它的温度降到300c需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？四、建模方法简单举例牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体放入处于常温m的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介质的温度差.分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似.建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t≥0，“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”翻

4、译为数学语言建立微分方程其中参数k>0，m=18.求得一般解为ln(T－m)=－kt+c,代入条件，求得c=42，,最后得T(t)=18+42,t≥0.结果：T(10)=18+42=25.870，该物体温度降至300c需要8.17分钟.案例2除雪问题一场降雪开始于午前的某个时刻，并持续到下午，雪量稳定。某人从正午开始清扫某条街的人行道，他的铲雪速度（以ft3/h度量）和清扫面的宽度均不变。到下午2点他扫了两个街区，到下午4点他扫了一个街区。请问：雪是从什么时候开始下的？（可假设他没有回头清扫落在已扫过的路面上的雪）11示意图下雪速度：a(单位)3/小时

5、.面积铲雪速度：b(单位)3/小时S(t)：正午后t小时的铲雪位移下雪时间：午前x0已知量：S(0)=0，S(2)=2，S(4)=3翻译为t到t+Δt时刻：（1）铲雪容量：b*Δt（2）忽略Δt下雪量，雪量减少容量：（3）微分表达式：（4）模型：建立模型解：求解模型练习1溶液混合问题：设有一容器将有某种浓度的溶液以流量注入浓度为的同样的溶液，假定溶液被立即搅匀，并以的流量流出，试建立容器中浓度与时间关系的模型。许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等.利用变量间的平衡与增长特性,可分析和建立有关变量间的相互关系.案例3

6、人口增长模型对某地区时刻t的人口总数P(t)，除考虑个体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出的影响.四、微分建模典型举例在很短的时间段Δt内，关于P(t)变化的一个最简单的模型是：{Δt时间内的人口增长量}={Δt内出生人口数}－{Δt内死亡人口数}+{Δt内迁入人口数}－{Δt内迁出人口数}{Δt时间内的净改变量}={Δt时间内输入量}－{Δt时间内输出量}般化更一基本模型不同的输入、输出情况对应不同的差分或微分方程.输入量含系统外部输入及系统内部产生的量；输出量含流出系统及在系统内部消亡的量.此类建模方法的关键是分析并正确描述基本模型的右端，使平衡

7、式成立案例5战斗模型两方军队交战,希望为这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的：1.预测哪一方将获胜？2.估计获胜的一方最后剩下多少士兵？3.计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗？设x(t)—t时刻X方存活的士兵数；y(t)—t时刻Y方存活的士兵数；假设：1）双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗，x(t)与y(t)都是连续变量.建立模型2）Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X方军队a名士兵；3）X方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军队b名士兵；{Δt时间内X军队减少的士兵数}={Δt时间内Y军队消灭对方的士兵数}平衡式即有

8、Δx=－ayΔt,同理Δy=－bxΔt,令Δt0,得到微分方程组：例5.1.4(独家广告模型)