2020年高考数学（文）母题题源解密23 不等式选讲（全国Ⅱ专版解析版）.docx

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1、专题23不等式选讲【母题来源一】【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果.【解析】（1）当时，.当时，，解得：；当时，，无解；当时，，解得：；综上所述：的解集为或.（2），当且仅当时取等号，，解得：或，的取值范围为.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.【母题来源二】【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，，求的取值范

2、围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当a=1时，．当时，；当时，．所以，不等式的解集为．（2）因为，所以．当，时，．所以，的取值范围是．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型．【母题来源三】【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．【命题意图】1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：（1）.（2）.（3）会利用绝对值的几何意义求

3、解以下类型的不等式：.2．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.3．主要考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查分类讨论、数形结合思想方法，考查逻辑推理、数学运算等核心素养.【命题规律】从近三年高考情况来看，此类知识点以解答题的形式出现，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明、求最值问题等.【方法总结】（一）解绝对值不等式的常用方法有：（1）公式法：对于形如

4、f(x)

5、>g(x)或

6、f(x)

7、

8、x

9、0)和

10、x

11、>a⇔x>a或x<−a(a>0)直接求解不等式；（2）平方法：对于形如

12、f(x)

13、≥

14、g(x)

15、，利用不等

16、式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负，即

17、f(x)

18、≥

19、g(x)

20、⇔f(x)2≥g2(x)；（3）零点分段法：对于形如

21、f(x)

22、±

23、g(x)

24、≥a，

25、f(x)

26、±

27、g(x)

28、≤a，利用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解；（4）几何法：对于形如

29、x±a

30、±

31、x±b

32、≤c，

33、x±a

34、±

35、x±b

36、≥c，利用绝对值三角不等式的性质求解，即①定理1:如果a，b是实数，则

37、a+b

38、≤

39、a

40、+

41、b

42、，当且仅当ab≥0时，等号成立.②定理2:如果a，b，c是实数，那么

43、a−c

44、≤

45、a−b

46、+

47、b−c

48、，当且仅当(a−b)(b−c)≥

49、0时，等号成立.③推论1:

50、

51、a

52、−

53、b

54、

55、≤

56、a+b

57、.④推论2:

58、

59、a

60、−

61、b

62、

63、≤

64、a−b

65、.（5）图象法：对于形如

66、f(x)

67、+

68、g(x)

69、≥a可构造y=

70、f(x)

71、+

72、g(x)

73、−a或y=

74、f(x)

75、+

76、g(x)

77、与y=a，在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数.（二）含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法：（1）分享参数法运用“”可解决恒成立中的参数范围问题.求最值的思路：利用基本不等式和不等式的相关性质解决；将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；利用性质“”求最值.（2）更换主元法不少含参不等式

78、恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法.（3）数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维和抽象思维各自的优势，可直接解决问题.（三）不等式的证明（1）比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号.个别题目也可用柯西不等式来证明.（2）基本不等式:如果a，b>0，那么，当且仅当

79、a=b时，等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.（3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即，当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立.1．（2020·山西省高三）已知函数．（1）若，解不等式；（2）对任意的实数，若总存在实数，使得，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】（1）分类讨论求解绝对值不等式，即可求得结果；（