导数大题题型总结.docx

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1、导数大题解得1．某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：m3）与a1,V融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：1⋯b.2V(t)H(101t)3（H为常数），其图象如图所示.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分10记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为1x2（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)lnx，定义域v(m3/h).那么瞬时融化速度等于v(m3/h)的时刻2是图中的（）为(0,)．Ot1t2t3t4100t11x2此时x=.令f(x)（A）t1（B）t2（C）t3xx（D）t4f(x)0，解得0x1，令f(x)0，得2．函数f(x)x3ex的极值点x0，曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切

2、线方程是.3．已知函数f(x)alnxbx2，a，bR.1（Ⅰ）若f(x)在x1处与直线y相切，求2a，b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求f(x)在[1,e]上的e最大值；（Ⅲ）若不等式f(x)x对所有的b(,0]，x(e,e2]都成立，求a的取值范围.解：（Ⅰ）f(x)a2bx.x由函数f(x)在x1处与直线1y2f(1)0,a2b0,相切，得1即1f(1).b.22x1．所以f(x)在（1，1）上单调递增，在（1，ee）上单调递减，所以f(x)在[1,e]上的最大值为ef(1)1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．2⋯⋯⋯⋯8分（Ⅲ）若不等式f(x)x对所有的b(,0]，x(e,e2]都成立，

3、即alnxbx2x对所有的b(,0]，x(e,e2]都成立，即alnxxbx2对所有的b(,0]，x(e,e2]都成立，即alnxx0对x(e,e2]恒成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分即ax对x(e,e2]恒成立，lnx即a大于或等于x在区间(e,e2]上的lnx最大值．令h(x)x，则h(x）=lnx1lnx(lnx)2，当x(e,e2]时，h(x)0，h(x)单调递增，所以h(x)x，x(e,e2]的最大值为lnxh(e2)e2．即ae2．22所以a的取值范围是[e2,)．2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分4．已知函数f(x)x2ex．（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）证明：x1，x2

4、(,0]，4f(x1)f(x2)e2；（Ⅲ）写出集合{xRf(x)b0}（b为常数且bR）中元素的个数（只需写出结论）．解：（Ⅰ）f(x)x(x2)ex．令f()x(x2)ex0，则x12，xf(x)00++-f(x)极极↗↗大↘小所以函数f(x)的单调递减区间为(2,0)，单调递增区间为(,2),(0,)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f(x)的单调递增区间为(,2)，单调递减区间为(2,0)，所以当x(,0]时，f(x)最大值=f(2)4．e2因为当x(,2]时，f(x)0，f(0)0，所以当x(,0]时，f(x)最小值=f(0)0．所以f(x)最大值-f(x)最小

5、值=4．e2所以对x1，x2(,0]，都有f(x1)f(x2)f(x)最大值-f(x)最小值=4．e2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分（Ⅲ）当b0时，集合{xRf(x)b0}的元素个数为0；当b0或4时，集合x20．be2x(,2)2(2,0)0(0,){xRf(x)b0}的元素个数为1；当b4时，集合{xRf(x)b0}e2的元素个数为2；x4当0b时，集合e2f(x){xRf(x)b0}的元素个数为3．⋯⋯⋯⋯13分f(x)5．已知函数f(x)alnx1(aR).x（Ⅰ）当a2时，求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（Ⅱ）如果函数g(x)f(x)2x在(0,)上单调递减，求

6、a的取值范围；（Ⅲ）当a0时，讨论函数yf(x)零点的个数．解：（Ⅰ）当a2时，f(x)2lnx1，f(1)1，x所以f21，f(1)1．(x)x2x所以切线方程为yx．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分（Ⅱ）因为g(x)f(x)2x在(0,)上单调递减，等价于g(x)a120在xx2(0,)恒成立，变形得a2x1(x0)恒成立，x而2x122x122xx（当且仅当2x1，即x2x时，等2号成立）．所以a22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分．（Ⅲ）f(x)ax1．x2令f(x)0，得x1．a(0,1)1(1,)aaa0↘极小值↗所以f(x)min=f(1)=aln1aa(1lna)．aa（ⅰ）当0ae时，

7、f(x)min0，所以f(x)在定义域内无零点；（ⅱ）当ae时，f(x)min0，所以f(x)在定义域内有唯一的零点；（ⅲ）当ae时，f(x)min0，①因为f(1)10，所以f(x)在增区间(1,)内有唯一零点；a1②f(a(a2lna)，2)a2设h(a)a2lna，则h(a)1，a因为ae，所以h(a)0，即h(a)在(e,)上单调递增，所以h(a)h(e)0，即f(12)0，1a所以f(x)在减区间(0,)内有唯一的零点．a所以ae时f(x)在定义域内有两个零