导数大题 题型总结

《导数大题 题型总结》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、导数大题1．某堆雪在融化过程中，其体积（单位：）与融化时间（单位：）近似满足函数关系：（为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为.那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（）（A）（B）（C）（D）2．函数的极值点，曲线在点处的切线方程是.3．已知函数，，.（Ⅰ）若在处与直线相切，求，的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求在上的最大值；（Ⅲ）若不等式对所有的，都成立，求的取值范围.解：（Ⅰ）.由函数在处与直线相切，得即解得………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为．此时.令，解得，令，得．所以在（，）上单调递增，在

2、（，）上单调递减，所以在上的最大值为．………………………………8分（Ⅲ）若不等式对所有的，都成立，即对所有的，都成立，即对所有的，都成立，即对恒成立．　　　　　　　　　…………………11分即对恒成立，即大于或等于在区间上的最大值．令，则，当时，，单调递增，所以，的最大值为．即．所以的取值范围是．………………………………14分4．已知函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）证明：，，；（Ⅲ）写出集合（b为常数且）中元素的个数（只需写出结论）．解：（Ⅰ）．令，则，．+-+↗极大↘极小↗所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为,．……………………4分（Ⅱ

3、）证明：由（Ⅰ）知的单调递增区间为，单调递减区间为，所以当时，．因为当时，，，所以当时，．所以-．所以对，，都有-．……………………10分（Ⅲ）当时，集合的元素个数为0；当或时，集合的元素个数为1；当时，集合的元素个数为2；当时，集合的元素个数为3．…………13分5．已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）如果函数在上单调递减，求的取值范围；（Ⅲ）当时，讨论函数零点的个数．解：（Ⅰ）当时，，，所以，．所以切线方程为．……………………3分（Ⅱ）因为在上单调递减，等价于在恒成立，变形得恒成立，而（当且仅当，即时，等号成立）．所以．…

4、…………………8分（Ⅲ）．令，得．↘极小值↗所以=．（ⅰ）当时，，所以在定义域内无零点；（ⅱ）当时，，所以在定义域内有唯一的零点；（ⅲ）当时，，①因为，所以在增区间内有唯一零点；②，设，则，因为，所以，即在上单调递增，所以，即，所以在减区间内有唯一的零点．所以时在定义域内有两个零点．综上所述：当时，在定义域内无零点；当时，在定义域内有唯一的零点；当时，在定义域内有两个零点．……………………13分6．已知函数,，（，为常数）．（Ⅰ）若在处的切线过点，求的值；（Ⅱ）设函数的导函数为，若关于的方程有唯一解，求实数的取值范围；（Ⅲ）令，若函数存在极

5、值，且所有极值之和大于，求实数的取值范围．解：（Ⅰ）设在处的切线方程为，因为，所以，故切线方程为.当时，，将代入，得．…………………………3分（Ⅱ），由题意得方程有唯一解，即方程有唯一解．令，则，所以在区间上是增函数，在区间上是减函数.又，故实数的取值范围．…………………………8分（Ⅲ）所以.因为存在极值，所以在上有根，即方程在上有根，则有.显然当时，无极值，不合题意；所以方程必有两个不等正根．记方程的两根为，则,解得，满足.又，即，故所求的取值范围是．…………………………14分