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1、-------------精选文档--------------------------月时---------日课§3.1微分中值定理间星期题-----------------教学目的教学重点教学难点理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。罗尔定理、拉格朗日定理的应用。罗尔定理、拉格朗日定理的应用。课型基础课备课组教法选择讲授教法运用及板书教学过程要点可编辑-------------精选文档-----------------一、罗尔定理1.罗尔定理几何意义：对于在[a,b]上每一点都有不垂直于x轴的切线，且两端点的连线与x轴平行的不间断的曲线f(x)来说，至少存在一
2、点C，使得其切线平行于x轴。yCyf(x)ABoabx12从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat）引理费马引理设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义并且在x0处可导如果对任意xU(x0)有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))那么f'(x0)0证明：不妨设xU(x0)时，f(x)f(x0)（若f(x)f(x0)，可以类似地此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页可编辑-------------精选文档-----------------证明）.于是对于x0xU(x0),有f(x0x)f(
3、x0),从而当x0时,f(x0x)f(x0);而当x0时,f(x0x)f(x0)0;x0x根据函数f(x)在x0处可导及极限的保号性的得f'(x0)f'(x0)limf(x0x)f(x0)0xx0f'(x0)f'(x0)limf(x0x)f(x0)0，所以f'(x0)0,证毕.x0x定义导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点).罗尔定理如果函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续,（2）在开区间(a,b)内可导,（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)f(b),那么在(a,b)内至少在一点(ab),使得函数f(x)在该点的导数等于零，即f'()0.证明：由于f
4、(x)在[a,b]上连续，因此必有最大值M和最小值m，于是有两种可能的情形：（1）M，此时f(x)在[a,b]上必然取相同的数值M，即f(x)M.m由此得f(x)0.因此，任取(a,b)，有f()0.（2）Mm，由于f(a)f(b)，所以M和m至少与一个不等于f(x)在区间[a,b]端点处的函数值.不妨设Mf(a)(若mf(a),可类似证明),则必定在(a,b)有一点使f()M.因此任取x[a,b]有f(x)f(),从而由费马引理有f()0.证毕【例1】验证罗尔定理对f(x)x22x3在区间[1,3]上的正确性解显然f(x)x22x3(x3)(x1)在[1,3]上连续，在(1,
5、3)上可导，且f(1)f(3)0,又f(x)2(x1),取1,(1(1,3)),有f()0.说明：1若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立;可编辑-------------精选文档-----------------2使得定理成立的可能多于一个，也可能只有一个.【例2】证明方程x55x10有且仅有一个小于1的正实根.证明：设f(x)x55x1,则f(x)在[0,1]上连续，且f(0)1,f(1)3.由介值定理存在x0(0,1)使f(x0)0,即x0为方程的小于1的正实根.设另有x1(0,1),x1x0,使f(x1)0.因为f(x)在x0,x1之间满足罗尔定理的条件,
6、所以至少存在一个（在x0,x1之间）使得f()0.但f(x)5(x41)0,(x(0,1)),矛盾,所以x0为方程的唯一实根.二、拉格朗日（Lagrange）中值定理在罗尔定理中，第三个条件为(iii)f(a)f(b)，然而对一般的函数，此条不满足，现将该条件去掉，但仍保留前两个条件，这样，结论相应地要改变，这就是拉格朗日中值定理：定理2：若函数满足：(i)f(x)在[a,b]上连续；(ii)f(x)在(a,b)上可导；则在(a,b)内至少存在一点，使得f(f(b)f(a))。ba即f(b)-￠f(a)=f(x)(b-a)0.750.0.25--512-0.2215-0.-0
7、.755若此时，还有f(a)f(b)，f()0。可见罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况，因而用罗尔中值定理来证明之。证明：上式又可写为f(b)f(a)0⋯⋯(1)f()ba作一个辅助函数：F(x)f(b)f(a)(xa)⋯⋯f(x)a(2)b显然，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且可编辑-------------精选文档-----------------F(a)f(a)f(b)f(a)(aa)f(a)baF(b)f(b)f(b)f(a)(ba)f(a)baF(a)F
