微分中值定理教案.doc

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1、§3.1中值定理图1一、罗尔定理⌒一、罗尔定理首先，观察图1.设曲线弧是函数的图形.这是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，即．可以发现曲线的最高点或最低点C处,曲线有水平的切线.如果记C点的横坐标为，那么就有.现在用分析语言把这个几何现象描述出来，就是下面的罗尔定理.为了应用方便，先介绍费马（Fermat）引理.费马（Fermat）引理设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有（或），那么.证明不妨设时，（如果，可以类似地证明）.于是，对于,有，从而当时，；当时，.根据函数在可导的条件及极限的保号性，便得到，所以，.证毕.

2、（通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点））罗尔定理如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且有f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少在一点x,使得f¢(x)=0.证明由于在闭区间上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，在闭区间上必定取得它的最大值M和最小值m．这样,只有两种可能情形：(1)M＝m．这时在区间上必然取相同的数值M：＝M．由此，,有.因此，任取，有．(2)M＞m．因为，，所以M和m这两个数中至少有—个不等于在区间的端点处的函数值．为确定起见，不妨设M(如果设m，证达完全类似)．那末必定在开区间()内有一点使M

3、．因此，，有，从而由费马引理可知.定理证毕.注证明方程有根，一是用零点定理，二是用罗尔定理.例1设在上连续，内可导，且，试证：至少存在一个，使.证明：令，则，，.由闭区间上连续函数的零点定理可知，存在，使.再由罗尔定理得，至少存在一个，使，即.二、拉格朗日中值定理罗尔定理中这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到限制．如果把这个条件取消，但仍保留其余两个条件，并相应地改变结论，那末就得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理．图2拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那么在(a,b)内至少有一点x(a

4、a)=f¢(x)(b-a)成立.在证明之前，先看一下定理的几何意义.如果把（1）式改写成，由图2可看出，为弦AB的斜率，而为曲线在点C处的切线的斜率．因此拉格朗日中值定理的几何意义是；如果连续曲线的弦AB上除端点外处处具有不垂直于轴的切线，那末这弧上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于弦AB．从罗尔定理的几何意义中(图1)看出，由于，弦AB是平行于轴的，因此点C处的切线实际上也平行于弦AB．由此可见，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．从上述拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系，自然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理．但在拉格朗日中值定理中，函数不一定具备这个条件，为此我们

5、设想构造一个与有密切联系的函数(称为辅助函数)，使满足条件．然后对应用罗尔定理，再把对所得的结论转化到上，证得所要的结果．我们从拉格朗日中值定理的几何解释中来寻找辅助函数，从图3—2中看到，有向线段NM的值是的函数，把它表示为,它与有密切的联系，当及时，点M与点N重合，即有．为求得函数的表达式，设直线AB的方程为，则,由于点M、N的纵坐标依次为及，故表示有向线段NM的值的函数.下面就利用这个辅助函数来证明拉格朗日中值定理．定理的证明:引进辅函数令j(x)=f(x)-f(a)-(x-a).容易验证函数f(x)适合罗尔定理的条件:j(a)=j(b)=0,j(x)在闭区间[a,b]上连

6、续在开区间(a,b)内可导,且j¢(x)=f¢(x)-.根据罗尔定理,可知在开区间(a,b)内至少有一点x,使j¢(x)=0,即f¢(x)-=0.由此得=f¢(x),即f(b)-f(a)=f¢(x)(b-a).定理证毕.f(b)-f(a)=f¢(x)(b-a)叫做拉格朗日中值公式.这个公式对于b0或Dx<0),则在[x,x+Dx](Dx>0)或[x+Dx,x](Dx<0)应用拉格朗日中值公式,得f(x+Dx)-f(x)=f¢(x+qDx)Dx(0

7、上式又可写为Dy=f¢(x+qDx)Dx(0