教案微分中值定理

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1、[键入文字]西安交通工程学院《高等数学》教案时间---------月---------日星期-----------------课题§3.1微分中值定理教学目的理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。教学重点罗尔定理、拉格朗日定理的应用。教学难点罗尔定理、拉格朗日定理的应用。课型基础课备课组教法选择讲授教学过程教法运用及板书要点一、罗尔定理1.罗尔定理几何意义：对于在上每一点都有不垂直于轴的切线，且两端点的连线与轴平行的不间断的曲线来说，至少存在一点C，使得其切线平行于轴。CAB从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点

2、，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat）引理费马引理设函数在点的某邻域内有定义,并且在处可导,如果对任意,有(或),那么.证明：不妨设时，（若，可以类似地此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页6/6西安交通工程学院《高等数学》课程建设组[键入文字]西安交通工程学院《高等数学》教案证明）.于是对于,有,从而当时,;而当时,;根据函数在处可导及极限的保号性的得，所以,证毕.定义导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点).罗尔定理如果函数满足：（1）在闭区间上连续,（2）在开区间内可导,（3）在区间端点处的

3、函数值相等，即,那么在内至少在一点,使得函数在该点的导数等于零，即.证明：由于在上连续，因此必有最大值M和最小值，于是有两种可能的情形：（1），此时在上必然取相同的数值M，即由此得因此，任取，有（2），由于，所以M和至少与一个不等于在区间端点处的函数值.不妨设(若,可类似证明),则必定在有一点使.因此任取有,从而由费马引理有.证毕【例1】验证罗尔定理对在区间上的正确性解显然在上连续，在上可导，且,又,取,有.说明：1若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立;2使得定理成立的可能多于一个，也可能只有一个.6/6西安交通工程学院《

4、高等数学》课程建设组[键入文字]西安交通工程学院《高等数学》教案【例2】证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证明：设,则在上连续，且由介值定理存在使,即为方程的小于1的正实根.设另有使因为在之间满足罗尔定理的条件,所以至少存在一个（在之间）使得.但,矛盾,所以为方程的唯一实根.二、拉格朗日（Lagrange）中值定理在罗尔定理中，第三个条件为(iii)，然而对一般的函数，此条不满足，现将该条件去掉，但仍保留前两个条件，这样，结论相应地要改变，这就是拉格朗日中值定理：定理2：若函数满足：-2-112-0.75-0.5-0.250.250.5

5、0.75(i)在上连续；(ii)在上可导；则在内至少存在一点，使得。即若此时，还有，。可见罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况，因而用罗尔中值定理来证明之。证明：上式又可写为……(1)作一个辅助函数：……(2)显然，在上连续，在上可导，且，所以由罗尔中值定理，在内至少存在一点,使得6/6西安交通工程学院《高等数学》课程建设组[键入文字]西安交通工程学院《高等数学》教案。又或。注1：拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广；2：定理中的结论，可以写成，此式也称为拉格朗日公式，其中可写成：……(3)若令……(4)3：若，定理中的条件相应地

6、改为：在上连续，在内可导，则结论为：也可写成可见，不论哪个大，其拉格朗日公式总是一样的。这时，为介于之间的一个数，(4)中的不论正负，只要满足条件，(4)就成立。4：设在点处有一个增量，得到点，在以和为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，有即这准确地表达了和这两个增量间的关系，故该定理又称为微分中值定理。5：几何意义：如果曲线在除端点外的每一点都有不平行于轴的切线，则曲线上至少存在一点，该点的切线平行于两端点的连线。由定理还可得到下列结论：推论1：如果在区间上的导数恒为0，则在上是一个常数。证明：在中任取两点，在连续，在可导，由拉格朗日中值

7、定理，则在内至少存在一点，使得6/6西安交通工程学院《高等数学》课程建设组[键入文字]西安交通工程学院《高等数学》教案由假设可知在上，，从而在上，，，所以，可见，在上的每一点都有：（常数）。【例1】【例3】证明当时.证：设，显然在[0，x]上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在一点使由于，，，代入上式有即又由于所以即注：（1）构造辅助函数；（2）正确确定区间左右端点，利用TH2可得.三、三、柯西中值定理定理3：若满足：(1)在上连续；(2)在内可导；(3)则在内至少存在一点，使得。证明：令，显然，在上连续，且在内可导，更进一步还有，事实上

8、，6/6西安交通工程学院《高等数学》课程建设组[键入文字]西安交通工程学院《高等数学》教案所以满足罗尔定理的条件，故在内至少存在一点，使得，又因为，注1：柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，