最新魔梯与混沌(1)教学讲义ppt课件.ppt

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1、魔梯与混沌(1)第三节同步、锁模与混沌1.同步与锁模2.魔梯与混沌3.受驱贝耐特对流实验4.受驱单摆的混沌道路同步（Syncronazation）与锁模（Mode-locking）是指两个或数个振子间的同步振动现象。早在17世纪，荷兰物理学家惠更斯就发现两个悬挂在木板墙上的挂钟当靠得较近时会发生同步摆动现象。后来瑞利也发现当两根风琴管在靠得较近时发出的音调趋于一致，离得较远时则发生差拍现象。性线性振子振动方程：三个特征量：振幅A、频率ω与相位φ，频率是固有的，振幅与相位决定于初始条件。非线性振子，如范德玻耳振子，达芬振子等.三个特征量：振幅、频率与相位都与系统紧密相关的，

2、并且最终达到的振动状态与初始条件无关。同步与锁模的概念1.同步与锁模当水桶用弹簧悬挂起来，是一个弹簧振子。水桶的振动周期T由水桶质量与弹簧劲度决定。当水滴从桶底脱落时，对水桶有一反冲从而引起水桶上下振动，振动的水桶反过来又影响水滴形成。小孔滴水与水桶振动是两个相互耦合的振动系统。振动的水桶对于水滴形成相当于在水滴重量上附加了一个周期性的惯性力。因此每个落下的水滴有大有小，不再相等；两水滴之间的间隔有长有短，于是水滴的质量要改写为：式中f(t/T)是周期T的函数水桶滴水实验1.同步与锁模水桶滴水实验水桶振动对于水滴形成相当于在水滴重量上附加一周期性的惯性力。使落下的水滴有大

3、有小；两水滴之间的间隔有长有短。水桶用绳子悬挂起来时，落下的每个水滴质量应相等，两水滴之间的滴落时间间隔相同。1.同步与锁模通过约化变换，相继两次滴水时的相位关系由水滴脱落时间图求得。由时轴A点出发的45°斜线代表水滴质量的线性增长。C点表示水滴落时间，此时在水平轴上的位置为B点。将无量纲化，用周期T来约化时间t，用CT来约化质量m。于是质量的增长率为l，等效临界质量为：，以2π约化的相位。圆周映射1.同步与锁模由图可给出以下关系：其中μ代表{τ/T}的非整数部分。由于AB＝BC，得历次滴水是的相位推递关系：由此可以倒解出：圆周映射这是前后水滴间的相位关系qi在[0,1]

4、区间循环变化，数学上是映射。这个映射将圆上的点映射成圆，所以叫做圆周映射(circlemap)。1.同步与锁模2.魔梯与混沌圆周映射的特征与迭代函数f(q)的细节关系不太大，可以取为正弦函数形式：这映射叫做标准映射(standardmap)，它含有K，Ω两个参量。K代表非线性耦合的强度，Ω则代表两个振动的频率之比。（1）当不考虑标准圆映射中的非线性项时，K＝0，则标准圆映射简化为线性映射：（2）由于正弦函数是非线性的，当K≠0就是存在非线性时的迭代情况标准映射标准映射迭代运算2.魔梯与混沌1.K＝0线性情况先取W=2/5=0.4，为有理数，初始值q0＝0.3出发,得经过五

5、次迭代，轨线绕了两圈后回到原处。这是周期解，反映两个系统处于同步状态。再选无理数,0.40404…，与0.4很接近，但迭代总不能精确地回到原处，轨线不会闭合，这是准周期运动。说明在线性情况下无理数参数W不使两个系统出现同步现象。标准映射迭代运算2.魔梯与混沌2.非线性情况设K＝0.95，参数Ω为无理数频率，0.40404…，初始值θ0＝0.4，在经过了五次迭代绕了两圈以后回到了出发点。可见在非线性的情况下，即使参数Ω为无理数频率也可以实现轨线闭合，出现了周期解，达到了同步状态。说明非线性可使两个系统间的同步范围加宽。标准映射迭代运算2.魔梯与混沌引进每次迭代的平均增量以具

6、体地描述两个不同频率系统间的同步：称卷绕数。在线性情况下，W＝W，两者同为有理数或无理数。在非线性情况下，若W为无理数，W可锁定在与W接近的有理数。阿诺德舌头非线性情况下出现的同步，其锁定范围与参数K有关。在K=0时，锁模范围非常小，W为有理数的几率近乎零，无理数的几率近乎1。随K增加，所有的锁模频率范围都增加。在锁模范围与K关系的平面相图(K-Ω)上，人们形象地称“锁模范围随K值增加而增加”为阿诺德舌头(Arnoldtongue)。2.魔梯与混沌在不同频率比Ω下，同步范围宽度不同。大体上，两个系统的有理数频率之比Ω=P/Q的分母Q越小，锁定范围越宽。在给定K值下，在W-

7、Ω平面上，以全部频率比相应的同步范围构成一座特殊的楼梯——魔梯(devil‘sstaircase)。魔梯在全部分式中，除1以外，分母最小为2，即P/Q=1/2，同步区域较大；分母次小的为3，因此P/Q=1/3、2/3的同步范围虽比1/2的要小，但要比其他频率比值的同步范围要大，依次可以类推。2.魔梯与混沌不同的台阶代表不同的锁模频率W，平台宽度代表锁模范围的大小。由于在一个给定数值区间内有无穷多个无理数，楼梯就有无数个台阶与平台。如果对图上某个局部适当放大(计算更细)，这个局部与整座楼梯相象；如果再对这局部图选一小块进行放大，