2021_2022学年高中数学第2章数列2.3第2课时等差数列前n项和的综合应用学案含解析新人教A版必修5.doc

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1、学习第2课时 等差数列前n项和的综合应用学习目标核心素养1.掌握an与Sn的关系并会应用.(难点)2.掌握等差数列前n项和的性质及应用.(重点)3.会求等差数列前n项和的最值.(重点)4.会用裂项相消法求和.(易错点)1.通过等差数列前n项和Sn的函数特征的学习,体现了数学建模素养.2.借助等差数列前n项和Sn性质的应用及裂项相消法求和,培养数学运算素养.1.Sn与an的关系an=2.等差数列前n项和的性质(1)等差数列{an}中,其前n项和为Sn,则{an}中连续的n项和构成的数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…构成等差数列.(2)数列{an}是等差数列⇔S

2、n=an2+bn(a,b为常数).思考:如果{an}是等差数列,那么a1+a2+…+a10,a11+a12+…+a20,a21+a22+…+a30是等差数列吗?[提示](a11+a12+…+a20)-(a1+a2+…+a10)=(a11-a1)+(a12-a2)+…+(a20-a10)==100d,类似可得(a21+a22+…+a30)-(a11+a12+…+a20)=100d.∴a1+a2+…+a10,a11+a12+…+a20,a21+a22+…+a30是等差数列.3.等差数列前n项和Sn的最值(1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得{

3、Sn}的最小值.(2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得{Sn-13-/13学习}的最大值.特别地,若a1>0,d>0,则S1是{Sn}的最小值;若a1<0,d<0,则S1是{Sn}的最大值.思考:我们已经知道当公差d≠0时,等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn=n2+n,类比二次函数的最值情况,等差数列的Sn何时有最大值?何时有最小值?[提示]由二次函数的性质可以得出:当a1<0,d>0时,Sn先减后增,有最小值;当a1>0,d<0时,Sn先增后减,有最大值;且n取最接近对称轴的正整数时,Sn取到最值.1.设等差数列{an}的前n项和为

4、Sn,且Sn=n2-2n,则(  )A.当n的值为1时,Sn有最大值-1B.当n的值为1时,Sn有最小值-1C.当n的值为2时,Sn有最大值0D.当n的值为2时,Sn有最小值0B[因为Sn=n2-2n=(n-1)2-1,所以当n的值为1时,Sn有最小值-1.]2.等差数列{an}中,S2=4,S4=9,则S6=.15[由S2,S4-S2,S6-S4成等差数列得2(S4-S2)=S2+(S6-S4),解得S6=15.]3.已知数列{an}的通项公式是an=2n-48,则Sn取得最小值时,n为.23或24[由an≤0即2n-48≤0得n≤24.∴所有负项的和最小,即n=23或24.]4

5、.若等差数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn,则该数列的公差为.2A[a1=S1=A+B,a2=S2-S1=(4A+2B)-(A+B)=3A+B,-13-/13学习∴d=a2-a1=2A.]等差数列前n项和的性质【例1】 (1)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{an}的前3m项的和S3m;(2)两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,已知=,求的值.[解](1)在等差数列中,∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.∴30,70,S3m-100成等差数列.∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.(2)====

6、=.等差数列前n项和计算的几种思维方法(1)整体思路:利用公式Sn=,设法求出整体a1+an,再代入求解.(2)待定系数法:利用Sn是关于n的二次函数,设Sn=An2+Bn(A≠0),列出方程组求出A,B即可,或利用是关于n的一次函数,设=an+b(a≠0)进行计算.1.(1)等差数列{an}中,a2+a7+a12=24,则S13=.-13-/13学习(2)等差数列{an}的通项公式是an=2n+1,其前n项和为Sn,则数列的前10项和为.(1)104 (2)75[(1)由a2+a7+a12=24,得a7=8,所以S13=×13=a7·13=104.(2)因为an=2n+1,所以a

7、1=3.所以Sn==n2+2n,所以=n+2,所以是公差为1,首项为3的等差数列,所以前10项和为3×10+×1=75.]等差数列前n项和Sn的函数特征[探究问题]1.将首项为a1=2,公差d=3的等差数列的前n项和看作关于n的函数,那么这个函数有什么结构特征?如果一个数列的前n项和为Sn=3n2+n,那么这个数列是等差数列吗?上述结论推广到一般情况成立吗?[提示]首项为2,公差为3的等差数列的前n项和为Sn=2n+=n2+n,显然Sn是关于n的二次型函数.且常数项为

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