高中数学第2章数列2.3等差数列的前n项和（第2课时）等差数列前n项和的综合应用学案新人教A版

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1、第2课时等差数列前n项和的综合应用学习目标核心素养1.掌握an与Sn的关系并会应用(难点).1.通过等差数列前n项和Sn的函数特征的2.掌握等差数列前n项和的性质及应用(重学习，体现了数学建模素养.点).2.借助等差数列前n项和Sn性质的应用及3.会求等差数列前n项和的最值(重点).裂项相消法求和，培养数学运算素养.4.会用裂项相消法求和(易错点)．1．Sn与an的关系S1（n＝1），an＝Sn－Sn－1（n≥2）.2．等差数列前n项和的性质(1)等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－

2、S3n，…构成等差数列．2(2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an＋bn(a，b为常数)．思考：如果{an}是等差数列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列吗？[提示](a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10)＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10)＝＝100d，类似可得(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d.∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列．3．等差数列前n项和Sn的最值(1)若

3、a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．d2思考：我们已经知道当公差d≠0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn＝n＋2da1－2n，类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？[提示]由二次函数的性质可以得出：当a1<0，d>0时，Sn先减后增，有最小值；当a1>0，d<0时，Sn先增后

4、减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．1．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于()A．9B．10C．11D．12S奇n＋1165n＋1B[∵＝，∴＝.∴n＝10.故选B项．]S偶n150n2．等差数列{an}中，S2＝4，S4＝9，则S6＝________．15[由S2，S4－S2，S6－S4成等差数列得2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)，解得S6＝15.]3．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取得最小值时，n为________．23或24[由an≤0即2n－48≤0得n

5、≤24.∴所有负项的和最小，即n＝23或24.]24.若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An＋Bn，则该数列的公差为________．2A[a1＝S1＝A＋B，a2＝S2－S1＝(4A＋2B)－(A＋B)＝3A＋B，∴d＝a2－a1＝2A.]等差数列前n项和的性质【例1】(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；Sn7n＋2a5(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值．Tnn＋3b5[解](1)在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．∴30，70，

6、S3m－100成等差数列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.19（a1＋a9）（a1＋a9）a522S97×9＋265(2)＝＝＝＝＝.b519（b1＋b9）T99＋312（b1＋b9）22等差数列前n项和计算的几种思维方法n（a1＋an）(1)整体思路：利用公式Sn＝，设法求出整体a1＋an，再代入求解．22(2)待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，SnSnB即可，或利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算．nn1．(1)等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，则S1

7、3＝________．Sn(2)等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列n的前10项和为________．(1)104(2)75[(1)由a2＋a7＋a12＝24，得a7＝8，a1＋a13所以S13＝×13＝a7·13＝104.2(2)因为an＝2n＋1，所以a1＝3.n（3＋2n＋1）2Sn所以Sn＝＝n＋2n，所以＝n＋2，2nSn所以n是公差为1，首项为3的等差数列，10×9所以前10项和为3×10＋×1＝75.]2等差数列前n项和Sn的函数特征[探究问题]1．将首项为a1＝2，公差d＝3的等差数列的前n项和看作关于n的函数，那

8、么这个函数2有什么结构特