高中数学第2章数列2.2.2等差数列的前n项和（第2课时）等差数列前n项和的综合应用学案新人教B版

《高中数学第2章数列2.2.2等差数列的前n项和（第2课时）等差数列前n项和的综合应用学案新人教B版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第2课时　等差数列前n项和的综合应用学习目标核心素养1.掌握等差数列前n项和的性质及应用．(重点)2.会求等差数列前n项和的最值．(重点、易错点)1.通过等差数列前n项和的性质的学习，体现了学生的逻辑推理的素养．2.借助等差数列前n项和的最值研究，考查学生的数学建模的素养.1．Sn与an的关系an＝2．等差数列前n项和的性质(1)等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列．(2)数列{an}是等差数列⇔S

2、n＝an2＋bn(a，b为常数)．3．等差数列前n项和Sn的最值(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．思考：{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{

3、an

4、}的前n项和也是Sn吗？[提示]　不一定．1．已知在等差数列{an}中，a1＋a2＋a

5、3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于(　　)A．160　　B．180C．200D．220B　[∵a1＋a2＋a3＝－24.a18＋a19＋a20＝78，∴a1＋a20＝a2＋a19＝a3＋a18＝18，∴S20＝＝10×18＝180.]2．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为________．5　[由条件知a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝30，又∵a1＋a11＝a3＋a9＝a5＋a7，∴a5＋a7＝2a6＝10，∴中间项a6＝5.]3．若等差数列

6、{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，数列{an}的前n项和最大．8　[∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a8>0，a9<0.∴当n＝8时，数列{an}的前n项和最大．]由数列的Sn求通项an【例1】　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－3n，求证：数列{an}是等差数列；(2)数列{an}的前n项和Sn＝35n－2n2，求使Sn最大的n的值．[解]　(1)证明：a1＝S1＝1－3＝－2，当n≥2时，an＝Sn

7、－Sn－1＝(n2－3n)－[(n－1)2－3(n－1)]＝2n－4，当n＝1时，2n－4＝－2＝a1，∴an＝2n－4.∵an－an－1＝(2n－4)－[2(n－1)－4]＝2(n≥2)，所以{an}是等差数列．(2)由Sn＝35n－2n2＝－22＋.当且仅当n＝9时，Sn最大，故n＝9.一般地，an与Sn有如下关系：an＝an＝Sn－Sn－1并非对所有的n∈N＋都成立，而只对n≥2的正整数成立，由Sn求通项公式an时，要分n＝1和n≥2两种情形，然后验证n＝1时是否满足n≥2的解析式，若不满足，

8、则用分段函数的形式表示．1．已知正数数列{bn}的前n项和Sn＝(bn＋1)2，求证{bn}为等差数列，并求其通项公式．[解]　当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1，∴bn＝(bn＋1)2－(bn－1＋1)2＝(b－b＋2bn－2bn－1)．整理，得b－b－2bn－2bn－1＝0，∴(bn＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0，∵bn＋bn－1>0，∴bn－bn－1＝2(n≥2)．又∵b1＝(b1＋1)2，∴b1＝1，∴{bn}为等差数列，∴bn＝1＋(n－1)·2＝2n－1.等差数列前n项和性质的应用

9、【例2】　已知等差数列{an}，Sm，S2m，S3m分别是其前m，前2m，前3m项和，若Sm＝30，S2m＝100，求S3m.[解]　法一：设{an}的公差为d，依据题设和前n项和公式有：②－①，得ma1＋d＝70，所以S3m＝3ma1＋d＝3＝3×70＝210.法二：Sm、S2m－Sm、S3m－S2m成等差数列，所以30、70、S3m－100成等差数列．所以2×70＝30＋S3m－100.所以S3m＝210.法三：在等差数列{an}中，因为Sn＝a1n＋n(n－1)d，所以＝a1＋(n－1).即数

10、列构成首项为a1，公差为的等差数列．依题中条件知、、成等差数列，所以2·＝＋.所以S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.等差数列的前n项和常用性质(1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．(2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列．(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝；②当项数为奇数2n－1时，