最新第7章 图像重建(1)教学讲义PPT.ppt

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1、第7章图像重建(1)7．1概述图像处理中一个重要研究分支是物体图像的重建，它被广泛应用于检测和观察中，而这种重建方法一般是根据物体的一些横截面部分的投影而进行的。在一些应用中，某个物体的内部结构图像的检测只能通过这种重建才不会有任何物理上的损伤。由于这种无损检测技术的显著优点，因此，它的适用面非常广泛，它在各个不同的应用领域中都显示出独特的重要性。例如：医疗放射学、核医学、电子显微、无线和雷达天文学、光显微和全息成像学及理论视觉等等领域都多有应用。假设，两个嵌在内部的物体只能从外边观察，那么，采用什么检测手段才能达到这样的目的呢。当然，将物体切开是一种显而易见的解

2、决方法。然而,在许多情况下这样做是不实际的，比如说，医疗检查，天文观察，工业中的无损检测，光传导中的测量等一些应用都不能采用这种破坏性方法。透射模型：建立于能量通过物体后有一部分能量会被吸收的基础之上，透射模型经常用在射线、电子射线及光线和热辐射的情况下，这些都遵从一定的吸收法则。发射模型：发射也可用来确定物体的位置，并且这种方法已经广泛用于正电子检测，它是通过在相反的方向分解散射的两束伽码射线来实现的。这两束射线的渡越时间可用来确定物体的位置。反射模型能量反射也可用来测定物体的表面特性，例如，光线、电子束、激光或做为能量源的超声波等都可以用来进行这种测定。7．2

3、傅立里叶变换重建傅里叶变换是最简单的重建方法。一个三维(或二维)物体，它的二维(或一维)投影的傅里叶变换恰与此物体的傅里叶变换的主体部分相等,而傅里叶变换重建方法也正是以此为基础的。通过将投影进行旋转和部分傅里叶变换可以首先构造整个的傅里叶变换的平面，然后只须再通过傅里叶反变换就可以得到重建后的物体。傅里叶变换重建的原理如下：令f(x,y)代表一图像函数，则此二维函数的傅里叶变换为：而图像在x轴上的投影为：投影的一维傅氏变换为：它恰与二维傅氏变换的表达式一致。即：现在假设将函数投影到一条经过旋转的直线上，该直线的旋转角度为。图7—2投影几何关系定义旋转坐标为：而将

4、函数投影的直线选为x轴。投影点通过对距离t轴为处的一平行线进行函数积分，因此，该投影可如下表示：这里,积分路径是沿着直线进行。此投影的一维付氏变换为:展开后为:为使展开式与投影的二维傅里叶变换相等，把指数项做某种代换得到：因而,若点在一条角一定而距原点距离为的直线上，投影变换将与二维变换中的一直线有相同的傅氏变换，即:若投影变换中的所有及值都是已知的，则图像的二维变换也是可以确定的。为得到图像函数，我们须进行反变换运算，即：这些结论很容易推广到三维情形中。令:表示一物体,这里f可为实数或复数。它的三维傅氏变换由下式给出它的三维傅氏变换由下式给出而变换的核心部分是通

5、过定义，纵剖面或在面上的投影是：注意到的二维傅里叶变换正好等于上述三维变换的核心部分。这也说明如果投影在平面上旋转了角度，相应的傅里叶变换部分正好也将在变换域内的平面内转过角。这样，投影可以采用不同的方向角插入到三维变换域中。建立一个傅里叶变换空间需要很多的投影。最后,通过傅里叶反变换重建图像。既然在三维空间中的任意平面都可以被重建，那么，一个二维图像的重建也不失一般性。我们可重写二维投影方程，定出及投影平面：这里是光线几何路径中的微分长度。傅里叶变换的结论由下面给出：如图7—3所示。图中（a）是投影数据，(b)是傅里叶变换的组合。若已知无数的投影，从极坐标中计算

6、得到的投影变换推出在矩形平面中的傅里叶变换并不困难。图7—3傅里叶变换的几何原理但是，若只有有限个投影是有效的，则可能需要在变换中插入一些数据。另外需要注意的是，虽然只须一维傅里叶变换的投影数据就可构成变换空间，但图像重建则需要二维反变换。由此，我们得出一个推论，即：三维图像不能在得到部分投影数据过程中局部地重建，而必须延迟到所有投影数据都获得之后才能重建。7.3卷积法重建极坐标中的傅里叶反变换表达式。图7—4傅里叶变换的极坐标表示由对称共轭特性可得到：令这里:则，此表达式亦可写成下列形式：此处，*号代表卷积运算。此卷积表达式可直接写成：这里，过的积分可以解释为在

7、对求偏导的变换式。这种解释的重要性在于：若取样值个数为有限的，则积分值为有限的，也就是收敛。应注意到，前面所写的含有

8、

9、的积分表达式(7—19)不总是收敛的。另外，这样求导也可推出一种很简便的图像重建方法。假定将投影数据都存放于一等量矩形空间内，这种存放数据的方式称为。对于一恒定值，我们可线性地滤出该投影数据，即可在频域内用Rho滤波器乘以

10、R

11、得出，也可以在空间域内通过一个滤波器冲激响应是Rho频率滤波器的反变换的投影数据卷积得出，此处，积分上下限是无限的，但在实际中一定为有限值。这一处理就是所谓的方法。为得到最终的重建图像，只需将对在一特定值作积分，即：此处这

12、个处理过程