高考数学完全讲解之双曲线.doc

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1、双曲线及其标准方程（一）目的：1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用；2．通过对双曲线标准方程的推导，提高学生求动点轨迹方程的能力；3．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程；4．使学生理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等)；5．培养学生发散思维的能力重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用难点：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组内容分析：  “双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”、“椭圆及其标准方程”之后，学习又一类圆锥

2、曲线知识，也是中学解析几何中学习的重要的内容之一,它在社会生产、日常生活和科学技术止有着广泛的应用，大纲明确要求学生必须熟练掌握本节教材仍是继续训练学生用坐标法解决方程与曲线有关问题的重要内容，对它的教学将帮助学生进一步熟悉和掌握求曲线方程的一般方法双曲线的定义和标准方程是本节的基本知识，所以必须掌握而掌握好双曲线标准方程的推导过程又是理解和记忆标准方程的关键应用双曲线的有关知识解决数学问题和实际应用问题是培养学生基本技能和基本能力的必要环节坐标法是中学数学学习中必须掌握的一个重要方法，它充分体现了

3、化归思想、数形结合思想,是用以解决实际问题的一个重要的数学工具犹如前面学习的圆和圆锥曲线一样，双曲线也是一种动点的轨迹双曲线和其方程分属于几何和代数这两个分立的体系,但是通过直角坐标系人们又将它们很好地结合在一起因此我们要充分利用这节教材对学生进行好思想教育双曲线的标准方程，内容可分为二个课时，第一课时内容主要是双曲线的定义和标准方程以及课本中的例1;第二课时主要是课本中的例2、例3及几个变式例题一、复习引入:1椭圆定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭

4、圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关2.椭圆标准方程:（1)（2）其中二、讲解新课：1．双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于”在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线）

5、两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线）双曲线的形状与两定点间距离、定差有关2．双曲线的标准方程:根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程过程如下:（1）建系设点;（2）列式；（3）变换；（4）化简;（5）证明取过焦点的直线为轴,线段的垂直平分线为轴设P（）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2()则，又设M与距离之差的绝对值等于2（常数），，，化简,得:,由定义令代入，得：，两边同除

6、得：,此即为双曲线的标准方程它所表示的双曲线的焦点在轴上,焦点是,其中若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程,如焦点在轴上，则焦点是，将互换,得到,此也是双曲线的标准方程3．双曲线的标准方程的特点:（1)双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：焦点在轴上时双曲线的标准方程为:（，）;焦点在轴上时双曲线的标准方程为：（,）（2）有关系式成立,且其中a与b的大小关系：可以为4.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在

7、的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置,即项的系数是正的，那么焦点在轴上;项的系数是正的，那么焦点在轴上名称椭圆双曲线图象平面内到两定点的距离的和为常数（大于平面内到两定点定义）的动点的轨迹叫椭圆。即当2﹥2时，轨迹是椭圆,当2=2时，轨迹是一条线段当2﹤2时,轨迹不存在的距离的差的绝对值为常数(小于）的动点的轨迹叫双曲线。即当2﹤2时，轨迹是双曲线当2=2时，轨迹是两条射线当2﹥2时,轨迹不存在标准方程焦点在轴上时：焦点在轴上时：注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上

8、焦点在轴上时:焦点在轴上时:注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置常数的关系（符合勾股定理的结构),最大，（符合勾股定理的结构）最大，可以三、讲解范例:例1已知双曲线的焦点在轴上，中心在原点，且点,，在此双曲线上，求双曲线的标准方程分析：由于已知焦点在轴上，中心在原点，所以双曲线的标准方程可用设出来,进行求解本题是用待定系数法来解的，得到的关于待定系数的一个分式方程组，并且分母的次数是2，解这种方程组时利用换元法可将它化为二元二次方程组；也可将的倒数作为未知数,直接看