2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义4.2同角三角函数基本关系及诱导公式.doc

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1、个人收集整理勿做商业用途§4。2　同角三角函数基本关系及诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1）平方关系:sin2α＋cos2α＝1。（2)商数关系：＝tanα。2．下列各角的终边与角α的终边的关系角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－α图示与角α终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称角π－α－α＋α图示与角α终边的关系关于y轴对称关于直线y＝x对称3．六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－t

2、an_α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限个人收集整理勿做商业用途1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)（1）sin（π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．(　×　）（2）六组诱导公式中的角α可以是任意角．(　×　)(3）若cos（nπ－θ)＝（n∈Z),则cosθ＝.（　×　)（4)已知sinθ＝，cosθ＝，其中θ∈［，π］，则m〈－5或m≥3。（　×　）（5）已知θ∈（0，π），sinθ＋cosθ＝,则tanθ的值为－或－。（　×　）(6)已知tanα＝－，则的值是－。(　√　）2．已知sin（π－α）＝log8，且α∈(－，0)，则tan(2π－α)的值为

3、(　　)A．－B。C．±D。答案　B解析　sin(π－α)＝sinα＝log8＝－，又α∈（－,0），得cosα＝＝，tan(2π－α）＝tan(－α）＝－tanα＝－＝。3．若tanα＝2，则的值为________．答案　解析　原式＝＝。4．已知cos＝，则sin＝________。答案　－解析　sin＝sin＝－sin＝－cos＝－.个人收集整理勿做商业用途5．已知函数f(x）＝则f[f(2015)]＝________.答案　－1解析　∵f[f(2015）］＝f(2015－15)＝f（2000），∴f(2000）＝2cos＝2cosπ＝－1.题型一　同角三角函数关系式的应用例1　(1）已知

4、cos(π＋x）＝,x∈（π，2π），则tanx＝________.（2)已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于（　　）A．－B。C．－D.思维启迪　(1)应用平方关系求出sinx，可得tanx；（2）把所求的代数式中的弦转化为正切，代入可求．答案　（1)　（2)D解析　（1)∵cos(π＋x)＝－cosx＝,∴cosx＝－.又x∈(π，2π），∴sinx＝－＝－＝－，∴tanx＝＝。(2)sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝＝＝＝＝.思维升华　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)应

5、用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子,利用(sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α,cos2α＝1－sin2α。　（1)已知＝－，那么的值是（　　）A.B．－C．2D．－2（2)已知tanθ＝2,则sinθcosθ＝________.答案　(1）A　(2)个人收集整理勿做商业用途解析　（1）由于·＝＝－1,故＝。（2）sinθcosθ＝＝＝＝.题型二　诱导公式的应用例2　(1）已知cos＝,求cos的值;（2）已知π〈α<2π

6、，cos(α－7π)＝－，求sin（3π＋α）·tan的值．思维启迪　(1）将＋α看作一个整体，观察＋α与－α的关系．(2）先化简已知,求出cosα的值，然后化简结论并代入求值．解　（1)∵＋＝π，∴－α＝π－.∴cos＝cos＝－cos＝－,即cos＝－.（2）∵cos（α－7π）＝cos（7π－α)＝cos(π－α）＝－cosα＝－，∴cosα＝。∴sin（3π＋α）·tan＝sin(π＋α）·＝sinα·tan＝sinα·＝sinα·＝cosα＝.思维升华　熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．　(1)已知sin＝，则cos的

7、值为________．(2）已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则·tan2(π－α）＝________.答案　(1)－　(2)－解析　（1)cos＝cos＝－sin＝－。（2)∵方程5x2－7x－6＝0的根为－或2，个人收集整理勿做商业用途又α是第三象限角,∴sinα＝－,∴cosα＝－＝－，∴tanα＝＝＝，∴原式＝·tan2α＝－tan2α＝－.题型三　三角函数式的求