不定方程及根分布.doc

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1、个人收集整理勿做商业用途高一数学竞赛讲义————不定方程和同余对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理：定理1．二元一次不定方程ax+by=c,(1）若其中（a，b）c，则原方程无整数解；（2）若（a，b）=1,则原方程有整数解；（3）若（a,b）｜c，则可以在方程两边同时除以（a，b），从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为（2）的情形．定理2．若不定方程ax+by=1有整数解,则方程ax+by=c有整数解,此解称为特解．方程方程ax+by=c的所有解（即通解）为(k为整数）．如：方程2x+4y=5没有整数解；2x+3y=5有整数解．对于

2、非二元一次不定方程问题，常用求解方法有：(1）恒等变形．通过因式分解、配方、换元等方法将方程变形,使之易于求解;（2）构造法．先利用恒等式构造一些特解，再进一步证明不定方程有无穷多组解；(3)估算法．先缩小方程中某些未知数的取值范围,然后再求解．1．求方程5x+3y=22的所有正整数解．2求不定方程的正整数解．或或．3求方程x2－y2=105的正整数解．或或或．4。边长为整数且面积(的数值）等于周长的直角三角形的个数有_____个.（2个）二元不定方程.5.已知p，p+14,p+q都是质数，并且p有唯一的值和它对应，则q只能取(A）考虑余数(A)

3、40(B）44(C）74(D）86D7.奇数不能表示为三个不相等的合数之和，则满足条件的的最大值为．178。若为一个平方数，则正整数。10解：，设有，于是有故9.是给定的奇质数，正整数使得也是一个正整数，则=________。解.设,从而是平方数，设为。（负值舍去）10.实数满足，则。011．已知集合．若在A中任取个数，都能从中找出两个不同的数使，则的最小值为．35112.设p是质数，且p2+71的不同正因数的个数不超过10个，求p个人收集整理勿做商业用途解：当p=2时，p2+71=75=52×3,此时共有正因数(2+1）(1+1)=6个，故p=

4、2满足要求．当p=3时，p2+71=80=24×5，此时共有正因数（4+1)（1+1)=10个，故p=3满足条件．当p>3时，p2+71=p2-1+72=（p—1)（p+1）+72。质数p必为3k±1型的奇数p-1、p+1是相邻的两个偶数，且其中必有一个是3的倍数.所以，（p—1)（p+1)是24的倍数，从而p2+71是24的倍数．设p2+71=24×m，m≥4．若m有不同于2、3的质因数，则,p2+71的正因数个数≥(3+1)（1+1)(1+1）〉l0;若m中含有质因数3，则，p2+71的正因数个数≥（3+1)(2+1）>10；若m中仅含有质因

5、数2,则p2+71的正因数个数≥（5+1)(1+1）>10；所以,p〉3不满足条件．综上所述，所求得的质数p是2或3。实系数一元二次方程实根分布(根的范围问题)――画草图利用四要素解题(应用：一元二次不等式在某区间上恒成立或与某区间取公共部分）。1)开口;2）实根分布的区间端点处的函数值符号；3）对称轴;4）一、与一个端点比较①，,②，，③,,二、与两个端点比较①，,②,，；③,,④，，练习：1．方程的两根为，①;②；③分别求出实数的取值范围。2．方程的两根为，且,则实数的取值范围为_____3．已知函数的图象与轴的负半轴有交点，求实数的取值范围

6、。（）4．，,若,求实数的取值范围。5．，,①,求实数的取值范围6。已知（1）若方程有一个正根和一个负根，求此时实数的取值范围；（2)若在区间上至少存在一个实数,使得，求此时实数的取值范围.（）7.(08北京）已知集合.若，确定实数的取值范围。（)个人收集整理勿做商业用途16．(08温州）设,若,,.（1)求证：方程在区间（0，1）内有两个不等的实数根；（2)若都为正整数，求的最小值。