巧用根与系数的关系解方程.doc

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1、巧用根与系数的关系解方程如果实数、满足+=-，=,那么和是方程(≠0）的两个根．依此解一类方程，常会取得事半功倍之效．请看几例:例1　解方程-=6．分析：原方程可化为+=6，而×=5，故可构造以和为根的一元二次方程，先求，继而解得,=-2,= ．例2　解方程（+1）（+2)（+3)(+4)=120．分析：原方程可化为（+5+6）(+5+4）=120，即(+5+6）（--5—4）=—120，而(+5+6)+（--5-4）=2，故可构造以(+5+6)和（--5-4）为根的一元二次方程—2—120=0．解得=12,=-10，当=12时，+5+6=12

2、，解得=—6，=1;当=-10时，+5+6=-10（方程无实根）；故原方程的根为=—6,=1．例3　解关于的方程+=．分析：考虑到(）+（）=-,而()+（)=（+)-2×，所以×=［—-(）］=0，故可构造以和为根的一元二次方程-=0，解得=,= ．例4　解方程+=2．分析：考虑到+（）=+=（)，又+()=（+）—2×=()—，所以（)+2×-8=0，即（+4）（—2)=0．因为＞0，所以只有=2,即×=2，故可构造以和为根的一元二次方程—2+2=0，解得==．即==，经验=是原方程的根．例5　解方程（+2—6）+(-2）=0．分析：由非负

3、数性质得,+2=6，及=2，即×2=8，故可构造以和2为根的一元二次方程-6+8=0,解出的值后,继而求得原方程的解为： ,，，．由以上几例可以看出，用韦达定理解方程，关键是将方程变形为“+=，=”这种模型，再构造相应的一元二次方程，从而求出原方程的解．