第1讲函数问题的题型与方法2——函数与方程的思想方法.doc

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1、第1讲函数问题的题型与方法——函数与方程的思想方法四、函数与方程的思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组）,然后通过解方程（组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f（x），就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说,函

2、数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用的性质是：f（x）、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键.对所给的问题观察、分析

3、、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外,方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题,即用函数思想解答非函数问题.（一）函数的性质函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手,在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是:1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确

4、判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性,能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解．函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质,但不一定是函数在定义域上的

5、整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制．对函数奇偶性定义的理解,不能只停留在f(—x)=f（x)和f（—x）=—f（x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f（-x）=f(x），f（-x)=-f（x)的实质是:函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f（x）的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x,都有f（x+a）=f（a-x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调

6、动相关知识,选择恰当的方法解决问题,是对学生能力的较高要求．1．对函数单调性和奇偶性定义的理解例4．下面四个结论:①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x）=0（x∈R)，其中正确命题的个数是　　（　　　）A．1　　　　　　B．2C．3　　　　　　D．4分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误．奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点,因此②不正确．若y=f(x）既是奇函数,又是偶函数，由定义可得f（x）=0，

7、但不一定x∈R,如例1中的（3),故④错误,选A．说明:既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零．2．复合函数的性质复合函数y=f[g（x)]是由函数u=g(x）和y=f(u)构成的,因变量y通过中间变量u与自变量x建立起函数关系，函数u=g（x）的值域是y=f(u）定义域的子集．复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：(1）单调性规律如果函数u=g（x)在区间［m，n]上是单调函数，且函数y=f(u）在区间[g（m），g(n)］（或[g（n)，g（m)］）上也是单调函数，那么若u=g(x）

8、，y=f（u)增减性相同，则复合函数y=f［g(x)]为增函数；若u=g(x），y=f（u）增减性不同,则y=f[g（x）]为减函数．（2)奇偶性规律若函数g（x），f（x），f［g(x）]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x）,y=f(u)都是奇函数时，y=f[g（x)]是奇函数；u=g（x）,y=f（u）都是