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1、离散傅里叶变换(DFT)傅立叶级数（DFS）傅立叶变换（DFT）DFT应用DFT存在的问题FSFTDFSDTFT：FS：傅立叶级数展开,用于分析连续周期信号,时域上任意连续的周期信号可以分解为无限多个正弦信号之和，在频域上就表示为离散非周期的信号，即时域连续周期对应频域离散非周期的特点。FT：傅立叶变换，用于分析连续非周期信号，由于信号是非周期的，它必包含了各种频率的信号，所以具有时域连续非周期对应频域连续非周期的特点。DTFT：离散时间傅立叶变换，它用于离散非周期序列分析，由于信号是非周期序列，它必包含了各种频率的信号，所以对离散非周期信号变换后的频谱为连续的，即有时域离
2、散非周期对应频域连续周期的特点。DFS：离散时间傅立叶级数，离散周期序列信号，取主值序列，得出每个主值在各频率上的频谱分量，这样就表示出了周期序列的频谱特性。当离散的信号为周期序列时，严格的讲，离散时间傅里叶变换是不存在的，因为它不满足信号序列绝对级数和收敛（绝对可和）这一傅里叶变换的充要条件，但是采用DFS（离散傅里叶级数）这一分析工具仍然可以对其进行傅里叶分析。局限性：离散时间傅里叶变换（DTFT）是特殊的Z变换，在数学和信号分析中具有重要的理论意义。但在用计算机实现运算方面比较困难。这是因为，在DTFT的变换对中，离散时间序列在时间n上是离散的，但其频谱在数字角频率ω
3、上却是连续的周期函数。而计算机只能处理变量离散的数字信号。所以，如果要想利用计算机实现DTFT的运算，必须建立时域离散和频域离散的对应关系。§1、傅里叶级数周期为N的序列基频序列为k次谐波序列为因而，离散傅里叶级数的所有谐波成分中只有N个是独立的。因此在展开成离散傅里叶级数时，我们只能取N个独立的谐波分量，通常取k=0到(N-1).∴也是以N为周期的周期序列故所有谐波成分中{}只有N个是独立的，可以用这N个独立成分将展开。是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对，这种对称关系可表为：习惯上：记1.周期性2.共轭对称性3.可约性4.正交性WN的性质:是周期序列离散傅立叶
4、级数第k次谐波分量的系数，也称为周期序列的频谱。可将周期为N的序列分解成N个离散的谐波分量的加权和，各谐波的频率为，幅度为DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。则DFS变换对可写为DFS[·]——离散傅里叶级数变换IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换。与连续周期信号的傅立叶级数相比较，周期序列的离散傅立叶级数的特点：（1）连续性周期信号的傅立叶级数对应的谐波分量的系数有无穷多。而周期为
5、N的周期序列，其离散傅立叶级数谐波分量只有N个是独立的。（2）周期序列的频谱也是一个以N为周期的周期序列。例：一个周期矩形序列的脉冲宽度占整个周期的1/4，一个周期的采样点数为16点，显示3个周期的信号序列波形，并要求：（1）用傅立叶级数求信号的幅度频谱和相位频谱。（2）求傅立叶级数逆变换的图形，与原信号图形进行对比。clear;N=16;xn=[ones(1,N/4),zeros(1,3*N/4)];xn=[xn,xn,xn];n=0:3*N-1;k=0:3*N-1;Xk=xn*exp(-j*2*pi/N).^(n‘*k);%DFS变换x=(Xk*exp(j*2*pi/N
6、).^(n‘*k))/N;%IDFS变换subplot(2,2,1),stem(n,xn);title('x(n)');axis([-1,3*N,1.1*min(xn),1.1*max(xn)]);subplot(2,2,2),stem(n,abs(x));%显示IDFS结果title(‘IDFS
7、X(k)
8、’);axis([-1,3*N,1.1*min(x),1.1*max(x)]);subplot(2,2,3);stem(k,abs(Xk));%序列幅度谱title('
9、X(k)
10、');axis([-1,3*N,1.1*min(abs(Xk)),1.1*max(abs(
11、Xk))]);subplot(2,2,4);stem(k,angle(Xk));%序列相位谱title('arg
12、X(k)
13、');axis([-1,3*N,1.1*min(angle(Xk)),1.1*max(angle(Xk))]);比较可知，逆变换的图形比原信号的图形幅度扩大很多，主要因为周期序列长度为单周期序列的3倍，做逆变换时未做处理。可将IDFS改成：x=(Xk*exp(j*2*pi/N).^(n'*k))/(3*3*N);序列周期重复次数对序列频谱的影响：理论上，周期序列不满足绝对可积条件，因此不能用傅
