第3章 离散傅里叶变换(DFT)ppt课件.ppt

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1、第3章离散傅里叶变换(DFT)3.1离散傅里叶变换的定义及物理意义3.2离散傅里叶变换的基本性质3.3频率域采样3.4DFT的应用举例习题与上机题对于有限长序列，还有一种更为重要的数学变换，即本章要讨论的离散傅里叶变换(DiscreteFourierTransform，DFT)。DFT之所以更为重要，是因为其实质是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，从而实现了频域离散化，便于进行数字信号处理。更重要的是，DFT有多种快速算法，统称为快速傅里叶变换(FastFourierTransform，FFT)，从而使信号的实时处理和设备的简化得以实现。3.1.1

2、DFT的定义设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为：3.1离散傅里叶变换的定义及物理意义X(k)的离散傅里叶逆变换(InverseDiscreteFourierTransform,IDFT)为式中，，N称为DFT变换区间长度，N≥M。用DFT［x(n)］N和IDFT［X(k)］N分别表示N点离散傅里叶变换和N点离散傅里叶逆变换。【例3.1.1】x(n)=R4(n),求x(n)的4点和8点DFT。解　设变换区间N=4，则由此例可见，x(n)的离散傅里叶变换结果与变换区间长度N的取值有关。设变换区间N=8，则3.

3、1.2DFT与傅里叶变换和Z变换的关系设序列x(n)的长度为M，其Z变换和N(N≥M)点DFT分别为比较上面二式可得关系式：一式表明序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样。二式则说明X(k)为x(n)的傅里叶变换在区间［0,2π］上的N点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。DFT的变换区间长度N不同，采样间隔和采样点数不同，所以DFT的变换结果不同。图3.1.1R4(n)的FT和DFT的幅度特性关系一般称周期序列　　　中从n=0到N－1的第一个周期为　　　的主值区间，而主值区间上的序列称为　　　的主值序列。因此它们的关系

4、可叙述为：　　是x(n)的周期延拓序列，x(n)是　　　的主值序列。当N大于等于序列x(n)的长度时，将上式用如下形式表示：式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，((n))N表示模N对n求余，即如果n=MN+n10≤n1≤N－1,M为整数则((n))N=n1例如，图3.1.2x(n)及其周期延拓序列如果x(n)的长度为M，且　　　　　　，N≥M，则可写出　　　的离散傅里叶级数表示式(3.1.8)(3.1.9)式中即X(k)为　　　的主值序列。将(3.1.8)和(3.1.9)式与DFT的定义(3.1.1)和(3.1.2)式相比较

5、可知，有限长序列x(n)的N点离散傅里叶变换X(k)正好是x(n)的周期延拓序列x((n))N的离散傅里叶级数系数　　　的主值序列，即(3.1.10)如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2，且y(n)=ax1(n)+bx2(n)a、b为常数，取N=max［N1,N2］,则y(n)的N点DFT为Y(k)=DFT［y(n)］N=aX1(k)+bX2(k)0≤k≤N－1其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。3.2离散傅里叶变换的基本性质3.2.1线性性质3.2.2循环移位性质1．序列的循环移位设

6、x(n)为有限长序列，长度为M，M≤N，则x(n)的循环移位定义为y(n)=x((n+m))NRN(n)再将　　　左移m得到　　　　，最后取　　　　的主值序列则得到有限长序列x(n)的循环移位序列y(n)。上式表明，将x(n)以N为周期进行周期延拓得到x(n)及其循环移位过程M=6,N=8,m=2时，x(n)及其循环移位过程如下图所示。循环移位的实质是将x(n)左移m位，而移出主值区(0≤n≤N－1)的序列值又依次从右侧进入主值区。“循环移位”就是由此得名的。由循环移位的定义可知，对同一序列x(n)和相同的位移m，当延拓周期N不同时，y(n)=x((n

7、+m))NRn(n)则不同。请读者画出N=M=6，m=2时，x(n)的循环移位序列y(n)波形图。2．时域循环移位定理设x(n)是长度为M（M≤N）的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即y(n)=x((n+m))NRN(n)则3．频域循环移位定理设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点循环卷积定义为3.2.3循环卷积定理1．两个有限长序列的循环卷积式中，L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。与线性卷积不同，为了区别线性卷积，用　表示循环卷积，用　表示L点循环卷积，即yc(n)=h(n)x(n)。与序

8、列x(n)进行对比，相当于将第一个序列值x(0)不动，将后面的序列反转180°再放在x(0)的