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1、一、DFT的定义设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为X(k)的离散傅里叶逆变换为式中，，N称为DFT变换区间长度，7.3离散傅里叶变换（DFT）1二、DFT和Z变换的关系设序列x(n)的长度为N，其Z变换和DFT分别为：比较上面二式可得关系式（3.1.3）式表明序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样；（3.1.4）式则说明X(k)为x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区间[0，2π]上的N点等间隔采样。2实际上，任何周期为N的周期序列都可以看作长度
2、为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，即为了以后叙述方便，将(3.1.5)式用如下形式表示：三、DFT的隐含周期性均为整数有限长序列x(n)的离散傅里叶变换X(k)，正好是x(n)的周期延拓序列x((n))N的离散傅里叶级数系数的主值序列，即3图3.1.2有限长序列及其周期延拓47.3离散傅里叶变换（DFT）定义DFT：用类似于例7.9中的方法，可把（7.3）式写成矩阵乘法运算。Xk=xn*Wnk其中，xn为序列行向量，Wnk是一N×N阶方阵，而称为旋转因子。Wnk的MATLAB表示：Wnk=WN.^([0:N
3、-1]’*[0:N-1])5用矩阵乘法计算N点DFT的程序如下:MATLAB程序q73a.m%用矩阵乘法计算N点DFTclear;closeallxn=input('请输入序列x=');N=length(xn);%n=0:N-1;k=n;nk=n'*k;%生成N×N方阵WN=exp(-j*2*pi/N);%旋转因子Wnk=WN.^nk;%产生旋转因子矩阵Xk=xn*Wnk;%计算N点DFT这种方法计算DFT概念清楚、编程简单，但占用内存大、运行速度低，所以不实用。MATLAB基础部分提供了fft、ifft、ff
4、t2、ifft2等等快速计算傅里叶变换的函数，使DFT的运算速度量提高了若干数量级，在后面的例题中均直接调用这些函数。6例7.15序列的离散傅立叶变换求复正弦序列余弦序列正弦序列的离散傅立叶变换，分别按N=16和N=8进行计算。绘出幅频特性曲线，进行比较讨论。解：直接产生序列x1n、x2n和x3n，调用fft函数求解7%第七章例7.15程序q715%DFT计算clear;closeallN=16;N1=8;%产生序列x1(n),计算DFT[x1(n)]n=0:N-1;x1n=exp(j*pi*n/8);%产生x1
5、(n)X1k=fft(x1n,N);%计算N点DFT[x1(n)]Xk1=fft(x1n,N1);%计算N1点DFT[x1(n)]%产生序列x2(n),计算DFT[x2(n)]x2n=cos(pi*n/8);X2k=fft(x2n,N);%计算N点DFT[x2(n)]Xk2=fft(x2n,N1);%计算N1点DFT[x1(n)]%产生序列x3(n),计算DFT[x3(n)]x3n=sin(pi*n/8);X3k=fft(x3n,N);%计算N点DFT[x3(n)]Xk3=fft(x3n,N1);%计算N1点DF
6、T[x1(n)]8%绘图subplot(2,3,1);stem(n,abs(X1k),'.');title('16点DFT[x1(n)]');xlabel('k');ylabel('
7、X1(k)
8、')subplot(2,3,2);stem(n,abs(X2k),'.');title('16点DFT[x2(n)]');xlabel('k');ylabel('
9、X2(k)
10、')subplot(2,3,3);stem(n,abs(X3k),'.');title('16点DFT[x3(n)]');xlabel('k');
11、ylabel('
12、X3(k)
13、')k=0:N1-1;subplot(2,3,4);stem(k,abs(Xk1),'.');title('8点DFT[x1(n)]');xlabel('k');ylabel('
14、X1(k)
15、')subplot(2,3,5);stem(k,abs(Xk2),'.');title('8点DFT[x2(n)]');xlabel('k');ylabel('
16、X2(k)
17、')subplot(2,3,6);stem(k,abs(Xk3),'.');title('8点DFT[x3(n)]');x
18、label('k');ylabel('
19、X3(k)
20、')9在截取16点时，得到的是完整的余弦波形；而截取8点时，得到的是半截的余弦波形，当然有大量的谐波成分。10例7.16验证N点DFT的物理意义（1）绘出幅频曲线和相频曲线。（2）计算并图示x(n)的8点DFT。（3）计算并图示x(n)的16点DFT。解:序列x(n)的Ｎ点DFT的物理意义是在[0，2]上进行Ｎ点等间隔
