微分方程的解与数值近似探讨.docx

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1、微分方程的解与数值近似探讨我们最先接触的近似解法是最小二乘法，即y=a+bx;其中:b=(mi=1mxiyi-i=1mxii=1myi)/(mi=1mxi2-(i=1mxi)2)而a可由a=y-ax得到，而a可由a=y-ax得到，其中:x=1mi=1mxi;y=1mi=1myi;这是我们最早接触到的最小二乘法的形式，这在本质上就是一种数据近似拟合形式。数值近似也就是数值计算方法，是一种以近似解来解决数学建模、求解的一种方法，这种方法是以计算机技术为基础的，辅助于数学近似解算法。数值近似方法适用于大规模数据计算，例如力学中桁架的静力学分析：作用于P2点的力为F的线性方程组-f1+12f

2、3-f4=0,f3+f4=0,f1-f2=0,32(f5+f6)=0,……等若干个等式，记Af=b,其中A∈R12×11,f=f1,f2,…,f11,b=(0,0,0,F,0,…,0)T∈R12.之后便可利用迭代法（如Newton迭代法、弦截法等）或直接法（如Guass消元法、Guass-Jordan消元法等）来求解出f1,f2,…,f11各力的大小。生活中或各种实际应用中，数值近似求解是必不可少的一种解决问题的方法。为数学问题的求解提供了一种新的路径。~2~微积分中，我们对于微分和积分关系的研究，是建立在近似假想，之后趋近极限（数值计算中即认为误差限大道预设要求）。那么我们通过反向

3、思考，利用这种趋近关系也是能够得到非常规可解微分方程模型的近似数值解。通过学习我们常微分方程的数值解的方法（如Euler公式，Runge-Kutta方法以及线性多步法等）来求解常微分的数值解。那么对于常微分方程的解的表达式我们是否可以设想，利用麦克劳林（Maclaurin）展开式来进行近似呢？Maclaurin展开式：fx=a0+a1x+a2x2+a3x3+…对方程：y'x=gx,y,ya=y0f'x=a1+2a2x+3a3x2+…通过上几式解出y,将初值代入即可关于ai（0，1，2,…,k）的方程，对于线性方程组有k+1个未知量，要想解出仅有初始条件是不够的。方法一：借用向后Eul

4、er公式的Picard迭代格式用到的办法，利用向前Euler得到k+1个初值，方程即可求得解，k越大，则近似误差就越小，方法二：得到f'a,f''a,f'''a,f4a,f5(a)…fk(a),同样可有k+1个条件，也可解出ai（0，1，2，…,k）的值。至此我们便可得到f(x)的表达式。那么至此，发现这种方法中对微分方程的形式未做限制，所以对于其他形式的方程也可用此法求其表达式，对于大量数据来说，充分利用中值定理和介值定理就可以的到某点多阶导数值的近似值。就可以得到至少k+1个条件了。但这种方法具有任意性，求解的结果也纷杂，我们就要用数值检验来确定哪一个在何种条件下误差最小，最终的

5、结果应当是分段函数形式。不过两种方法的局限性都挺大的，但在现实生活中可取大量数据的情况下还是有可取之处的，同样是在精确度要求不高的情况下使用。其实这就是一种固定模型，用大量数据来拟合罢了。我认为在生物统计微分方程中和广范（非精密）经济学统计中以及天文统计概念性描述中可适用性还是较大的。~2~