最新有限差分法幻灯片.ppt

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1、有限差分法有限差分方法是一种微分方法,广泛用于计算机求解偏微分方程。为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法是将定解区域（场区）离散化为网格离散节点的集合。并以各离散点上函数的差商来近似该点的偏导数，使待求的偏微分方程定解问题转化为一组相应的差分方程。根据差分方程组解出各离散点处的待求函数值——离散解。建立控制方程及定解条件建立节点物理量的代数方程解的分析求解代数方程组设立迭代初值确定节点（区域离散化）收敛？是否改进初场泰勒级数展开法由（a）（b）两个式子即可推出一阶导数和二阶导数的差分（一般取中心差分，

2、更为精确）一阶导数的中心差分：二阶导数的中心差分：代入由于该矩形网格为均分网格，因此∆x=∆y，则有：热平衡法对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热＝流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量(C)热平衡法以二维稳态无内热源、矩形均分下的温度场为例，利用用热平衡法对内节点(i,j)建立离散方程。代入热平衡方程(C)，由于∆x=∆y建立节点离散方程注意的问题上述例

3、子以二维稳态无内热源矩形等分下的温度场为基础，展示了两种方法的使用，而实际情况较为复杂。尤其在对非稳态的温度场的节点建立离散方程时，不仅涉及到空间区域的离散化，还有时间区域的离散化。非稳态导热节点离散化显式格式隐式格式优点：计算工作量小缺点：对步长有一定限制优点：步长无限制缺点：计算工作量大4.迭代计算常用的迭代方法：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-赛德尔迭代、块迭代、松弛迭代法、梯度法、交替方向迭代等.以高斯赛德尔迭代为例，其迭代步骤如下：（1）将已建立的离散方程组改写成合适的迭代形式。（2）设立迭代初值，利用迭

4、代公式逐一计算每个节点的改进值。（每次迭代均用t的最新值代入）（3）以计算所得之值作为初场，重复上述计算，直到相邻两次迭代值之差小于允许值，此时达到迭代收敛，迭代终止计算计算实例一铜制薄板，长宽均为1m，厚度为1cm，底部边缘温度始终保持在1000K，其余三个边缘的无热量传输，薄板的两个表面通过对流和辐射换热与环境进行热量交换，分别在稳态和非稳态情况下对薄板的温度分布进行分析。（环境温度为300K)求解：(1)建立控制方程和边界条件：由于薄板的厚度相对其整体尺寸很小，可认为在厚度方向上温度不发生变化，因此问题可简化为二

5、维问题。根据能量守恒可列出控制方程：其中ρ为薄板材料的密度，Cp为比热，δz为薄板的厚度，k为导热系数，Qc为对流换热量，Qr为辐射换热量代入上式边界条件：x=0m,x=1m,y=1m；q=0w/m2y=1m；T=300K（2）利用matlab中的pdetool工具箱，首先绘出空间区域，并以0.1m为步长对其进行网格划分。（3）输入已知的参数并设定边界条件对边界条件进行设定输入已知参数（4）进行运算并对结果进行分析（a）稳态时薄板温度沿Y方向的变化曲线（b）非稳态下薄板顶部温度随时间的变化曲线（a)稳态下薄板内的温度分

6、布(b)非稳态下5000秒后薄板内的温度分布结果分析：非稳态下5000秒后薄板内的温度分布与稳态下薄板内的温度分布基本接近，这是由于非稳态热传导最初要经过非正规状态阶段，最后进入正规状态阶段并逐渐达到动态平衡。1.2PN结1.2.1PN结的形成将一块P型半导体和N型半导体紧密连接在一起，这种紧密连接不能有缝隙，是一种原子半径尺度上的紧密连接。此时将在N型半导体和P型半导体的结合面上形成如下物理过程。N型半导体中的多子电子的浓度远大于P型半导体中少子电子的浓度；P型半导体中多子空穴的浓度远大于N型半导体中少子空穴的浓度。

7、于是在两种半导体的界面上会因载流子的浓度差发生了扩散运动，见左图。图中兰色小圆为多子电子；红色小圆为多子空穴。扩散电流随着扩散运动的进行，在界面N区的一侧，随着电子向P区的扩散，杂质变成正离子；在界面P区的一侧，随着空穴向N区的扩散，杂质变成负离子。杂质在晶格中是不能移动的，所以在N型和P型半导体界面的N型区一侧会形成正离子薄层；在P型区一侧会形成负离子薄层。这种离子薄层会形成一个电场，方向是从N区指向P区，称为内电场，见左上图。内电场的出现及内电场的方向会对扩散运动产生阻碍作用，限制了扩散运动的进一步发展。在半导体中

8、还存在少子，内电场的电场力会对少子产生作用，促使少数载流子产生漂移运动。内电场内电场漂移电流漂移电流的方向正好与扩散电流的方向相反，扩散运动越强，内电场越强，对扩散运动的阻碍就越强；内电场越强，理应漂移电流就越大。因少数载流子的浓度与温度有关，在一定的温度条件下，少数载流子的浓度一定，所以漂移电流的大小就一定，不会随内电场加大而继