最新微积分三大中值定理详解PPT课件.ppt

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1、进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。　　记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着“怎么这么热”，于是三五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到“强子，别跑了，快来我给你扇扇”。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，“你看热的，跑什么？”此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲

2、的味道！　　蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇。　　蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅微积分三大中值定理详解§4.1微分中值定理一、引言二、微分中值定理1、罗尔(Rolle)定理2、拉格朗日(Lagrange)定理3、柯西(Cauchy)定理三、小结一、引言(Introduc

3、tion)导数刻划函数在一点处的变化率，它反映函数在一点处的局部变化性态；但在理论研究和实际应用中，还需要把握函数在某区间上的整体变化性态。中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该区间内某一点导数之间的关系。中值定理既是利用微分学解决应用问题的模型，又是解决微分学自身发展的理论基石。证明xaboyAB1)若即恒为常数,可取(a,b)内任一点作为2)若由知,M,m至少有一个要在内取得.不妨设M在内点处取得,即所以,证毕.注意：罗尔定理的条件组是结论成立的充分条件，任一条都不是必要条件。若函数不满足条件组，则不一定有罗尔定理的结论。xyo111再如,在右端点不连续,但·然而,注意：零值

4、定理求函数的零点(函数方程的实根)，罗尔定理求导数的零点(导数方程的实根)。题型1：验证定理的正确性。定理结论中的客观存在，且可能不唯一，但未给出其具体位置。令导数为零，求解方程的根，可确定其具体位置。题型2：找区间(比较复杂)；题型3：找函数(由结论入手，求解微分方程)在x=0处不可导,也不存在结论中的点注：本例中，应用定理的关键是主动找区间。例4设f(x)可导，且f(a)=f(b)=0，试证在(a,b)内至少存在一点，使f()+f'()=0证明：构造函数F(x)=f(x)ex则F(a)=f(a)ea=0F(b)=f(b)eb=0由于F(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,

5、b)内可导且F'(x)=f'(x)ex+f(x)ex所以，在(a,b)内至少存在一点，有F'()=0即ef'()+ef()=0∴f()+f'()=0例5已知f(x)在区间(a,b)内存在二阶导数，a

6、一练解答2）唯一性由零点定理即为方程的正实根.矛盾,1）存在性注意：在后面，本题还将用其他方法加以证明。2、拉格朗日(Lagrange)定理(L-Th)或1)在闭区间上连续;2)在开区间内可导;至少有一点若函数满足：aboyABxC则在内定理几何意义：在连续、光滑的曲线弧上，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，则在曲线弧上至少存在一点C，在该点处的切线与连接两端点的弦平行.aboyABxC分析要证即证即证令只须证只须证在上满足罗尔定理条件.证明易见在上连续，在内可导，且即根据罗尔定理知，使即即构造辅助函数2)定理结论肯定中间值的客观存在,但未指明确切位置,可通过求解导数方程确定。(题型1

7、：验证定理的正确性)1)定理的条件组是充分条件。.注意3)题型2：找区间；4)题型3：找函数；5)题型4：证明等式；6)题型5：证明不等式。1)(1)或(2)式对于时也成立.拉格朗日中值公式.2)若令则,于是拉格朗日公式可写成:(3)3)若令则得有限增量公式:(4)说明（2）注式中的可能不止一个,这并不影响它在理论上的应用4）是函数增量的近似表达式是函数增量的精确表达式证明不妨设在上应用中值定理,使所以,,由的任意性知,对例8已知函数f(x)在