微积分三大中值定理详解

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1、§4.1微分中值定理§4.2洛必达法则§4.3用导数研究函数的单调性、极值、和最值§4.4函数曲线的凹向及拐点§4.5曲线的渐近线与函数作图§4.6导数在经济学中的应用第四章中值定理及导数的应用§4.1微分中值定理一、引言二、微分中值定理1、罗尔(Rolle)定理2、拉格朗日(Lagrange)定理3、柯西(Cauchy)定理三、小结一、引言(Introduction)导数刻划函数在一点处的变化率，它反映函数在一点处的局部变化性态；但在理论研究和实际应用中，还需要把握函数在某区间上的整体变化性态。中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该区间内某一点导数之

2、间的关系。中值定理既是利用微分学解决应用问题的模型，又是解决微分学自身发展的理论基石。二、微分中值定理TheMeanValueTheorem在微分中值定理的三个定理中，拉格朗日(Lagrange)中值定理是核心定理，罗尔中值定理是它的特例，柯西中值定理是它的推广。下面我们逐一介绍微分中值定理。1、罗尔(Rolle)定理(R-Th)1)在闭区间上连续;2)在开区间内可导;有一点则在内至少使若函数满足：3)aboyABx几何意义:在两端点高度相同的连续光滑的曲线弧上,若除端点外处处有不垂直于x轴的切线,则此曲线弧上至少有一点处的切线是水平的.或者说切线与端点的

3、连线AB平行.aboyABx证明xaboyAB1)若即恒为常数,可取(a,b)内任一点作为2)若由知,M,m至少有一个要在内取得.不妨设M在内点处取得,即所以,证毕.注意：罗尔定理的条件组是结论成立的充分条件，任一条都不是必要条件。若函数不满足条件组，则不一定有罗尔定理的结论。xyo111再如,在右端点不连续,但·然而,注意：零值定理求函数的零点(函数方程的实根)，罗尔定理求导数的零点(导数方程的实根)。题型1：验证定理的正确性。定理结论中的客观存在，且可能不唯一，但未给出其具体位置。令导数为零，求解方程的根，可确定其具体位置。题型2：找区间(比较复杂

4、)；题型3：找函数(由结论入手，求解微分方程)在x=0处不可导,也不存在结论中的点注：本例中，应用定理的关键是主动找区间。例4设f(x)可导，且f(a)=f(b)=0，试证在(a,b)内至少存在一点，使f()+f'()=0证明：构造函数F(x)=f(x)ex则F(a)=f(a)ea=0F(b)=f(b)eb=0由于F(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导且F'(x)=f'(x)ex+f(x)ex所以，在(a,b)内至少存在一点，有F'()=0即ef'()+ef()=0∴f()+f'()=0例5已知f(x)在区间(a,b)内

5、存在二阶导数，a

6、连续;2)在开区间内可导;至少有一点若函数满足：aboyABxC则在内定理几何意义：在连续、光滑的曲线弧上，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，则在曲线弧上至少存在一点C，在该点处的切线与连接两端点的弦平行.aboyABxC分析要证即证即证令只须证只须证在上满足罗尔定理条件.证明易见在上连续，在内可导，且即根据罗尔定理知，使即即构造辅助函数2)定理结论肯定中间值的客观存在,但未指明确切位置,可通过求解导数方程确定。(题型1：验证定理的正确性)1)定理的条件组是充分条件。.注意3)题型2：找区间；4)题型3：找函数；5)题型4：证明等式；6)题型5：证明不等式

7、。1)(1)或(2)式对于时也成立.拉格朗日中值公式.2)若令则,于是拉格朗日公式可写成:(3)3)若令则得有限增量公式:(4)说明（2）注式中的可能不止一个,这并不影响它在理论上的应用4）是函数增量的近似表达式是函数增量的精确表达式证明不妨设在上应用中值定理,使所以,,由的任意性知,对例8已知函数f(x)在(,+)内满足关系式f'(x)=f(x)，且f(0)=1,证明：f(x)=ex。证明：构造函数证明由推论1知即解在闭区间[0，1]上连续,在开区间(0,1)内可导,满足拉格朗日中值定理的条件,即即的确在(0,1)内找到使定理成立.应用定理知例9验

8、证拉格朗日中值定理对函数在区间[0,1]上的正确性,并求解答时,例