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1、导数的应用经典例题拉格朗日中值定理一、微分中值定理及其应用1.微分中值定理及其相互关系罗尔定理泰勒中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式(3)证明有关中值问题的结论例3.且试证存在证:欲证因f(x)在[a,b]上满足拉氏中值定理条件,故有将①代入②,化简得故有①②即要证例4.设实数满足下述等式证明方程在(0,1)内至少有一个实根.证:令则可设且由罗尔定理知存在一点使即例5.设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且分析:所给条件可写为(2003考研)试证必存在想到找一点c,使证:因f
2、(x)在[0,3]上连续,所以在[0,2]上连续,且在[0,2]上有最大值M与最小值m,故由介值定理,至少存在一点由罗尔定理知,必存在例6.设函数在上二阶可导,且证明证:由泰勒公式得两式相减得二、导数应用1.研究函数的性态:增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率2.解决最值问题目标函数的建立与简化最值的判别问题3.其他应用:求不定式极限;几何应用;相关变化率;证明不等式;研究方程实根等.4.补充定理(见下页)设函数在上具有n阶导数,且则当时证:令则利用在处的n－1阶泰勒公式得因此时定理.的连续性及导函数例7.填空题(1)设函数其导数图形如图所示,单调减区间
3、为;极小值点为;极大值点为.提示:的正负作f(x)的示意图.单调增区间为;.在区间上是凸弧;拐点为提示:的正负作f(x)的示意图.形在区间上是凹弧;则函数f(x)的图(2)设函数的图形如图所示,例8.证明在上单调增加.证:令在[x,x+1]上利用拉氏中值定理,故当x>0时,从而在上单调增.得例9.设在上可导,且证明f(x)至多只有一个零点.证:设则故在上连续单调递增,从而至多只有一个零点.又因因此也至多只有一个零点.思考:若题中改为其他不变时,如何设辅助函数?例10.求数列的最大项.证:设用对数求导法得令得因为在只有唯一的极大值点因此在处也取最大值.又因
4、中的最大项.极大值列表判别:例11.证明证:设,则故时,单调增加,从而即思考:证明时,如何设辅助函数更好?提示:例12.设在上存在,且单调递减,有证:设则所以当令得即所证不等式成立.证明对一切例13.证:只要证利用一阶泰勒公式,得故原不等式成立.例14.证明当x>0时,证:令则法1.由在处的二阶泰勒公式,得故所证不等式成立.与1之间)法2.列表判别.即例15.求解法1利用中值定理求极限原式解法2利用泰勒公式令则原式解法3利用洛必达法则原式P1825;*7;*8;10(2),(3);11(1);17;20作业备用题1.设函数上具有二阶导数，且满足证明序列发
5、散.证：故序列发散.(2007考研）保号性定理2.设在区间上连续,且试证存在使证:不妨设必有使故保号性定理必有使故又在上连续,由零点定理知,存在使3.已知函数内可导,且证:(1)令故存在使即(2005考研）内可导,且(2)根据拉格朗日中值定理,存在使3.已知函数阶导数,且存在相等的最大值,并满足4.设函数证:据泰勒定理,存在使由此得即有(2007考研）情形1.则有内具有二阶导数,且存在相等的最大值,并满足情形2.因此据零点定理,存在即有则有4.设函数应用罗尔定理得内具有二求二次函数的函数关系式思考二次函数解析式有哪几种表达式？一般式：y=ax2+bx+c
6、顶点式：y=a(x-h)2+k交点式：y=a(x-x1)(x-x2)1.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位,再向上平移3个单位,得抛物线y=x2-2x+1,则A.b=2b=-2B.b=-6,c=6C.b=-8b=-2D.b=-8,c=18()BxyoxyoxyoxyoABCD-3-3-3-32.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx-3的大致图象是()C3.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）CxyoxyoxyoxyoABCD例1.已知一个二次函数的图象
7、过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式．例2.已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（2,0）并经过点M(0,1），求抛物线的解析式？例31.已知二次函数的图象过点(-2,0),在y轴上的截距为-3,对称轴x=2,求它的解析式.2.抛物线y=x2-2(m+1)x+n过点(2,4),且其顶点在直线y=2x+1上,(1)求这抛物线的解析式.(2)求直线y=2x+1与抛物线的对称轴x轴所围成的三角形的面积.练习二次函数解析式的几种表达式一般式：y=a
8、x2+bx+c顶点式：y=a(x-h)2+k交点式：y=a(x-x1)(x-x2
