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1、排列组合经典例题总结基本原理组合排列排列数公式组合数公式组合数性质应用问题知识结构网络图：两个原理的区别与联系：做一件事或完成一项工作的方法数直接（分类）完成间接（分步骤）完成做一件事，完成它可以有n类办法，第i类办法中有mi种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…mn种不同的方法做一件事，完成它可以有n个步骤，做第i步中有mi种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1·m2·m3·…·mn种不同的方法.二.相邻元素捆绑策略例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.甲乙丙丁由分步计数原理可得共有种不同的排
2、法=480解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，共有多少种不同的排法？练习2三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的
3、出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的5个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法由分步计数原理,节目的不同顺序共有种相相独独独元素相离问题,可先把没有位置要求的元素进行排队,再把不相邻元素插入中间和两端.马路上有编号为1、2、3…9的九盏路灯，为节约用电，现要求把其中3盏灯关掉，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法有多少种。练习3不同的关灯方法有：（种）四.定序问题缩倍(空位.插入)策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多多少种不同的排法.解
4、:(缩倍法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有种坐法，则共有种方法1思考:能否让甲乙丙先坐?（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法4*5*6*7定序问题可以用缩倍法，还可转化为插空模型处理练习题410人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少种排法？五.多排问题直排策略例5.8人排成前后两排,
5、每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先在前4个位置排甲乙两个特殊元素有____种,再排后4个位置上的特殊元素有_____种,其余的5人在5个位置上任意排列有____种,则共有_________种.前排后排一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.10名学生分坐两行，要求面对面坐下，但其中甲乙两位同学不可相邻也不可面对面，有多少种坐法？练习题5共有(1)甲在两端：(2)甲不在两端：六.排列组合混合问题先选后排策略例6.有5个不同的小球,装入4个不同的盒
6、内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有__种方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有_____种方法.根据分步计数原理装球的方法共有_____解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.练习题6某种产品有4只次品和6只正品，每只均不同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全部测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试中被发现的不同情况有多少种？七.相同元素分配问题隔板策略例7.有10个三好学生名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把
7、它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有___________种分法。一班二班三班四班五班六班七班将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为练习题7有编号为1、2、3的3个盒子和10个相同的小球，现把这10个小球全部装入3个盒子中，使得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数，这种装法共有多少种?八.正难则反间接法例8.四面体的顶点和各棱中点共10个点，从中取4
8、个不共面的点，不同的取法有多少种？取出的4点不共面情形复杂，故采用间接法。取出的4点共面有三类：（1）过四面体的一个面有种；（2）过四面体的一条棱上的三个点和对棱的
