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1、哈理工——数字图像处理第7章图像重建图像重建：由一系列沿直线投影图来重建二维图像，由一系列二维图像重建三维物体。成像方式：透射断层成像发射断层成像反射断层成像射线种类：X射线成像、核磁共振成像、正电子发射成像、超声成像、微波成像、激光共焦成像、……2射线投影成像的基本原理：人体组织对X射线吸收和散射，造成衰减，人体内的不同结构，比如脂肪、胰、骨骼对X射线吸收能力有所不同。入射线图7.1组织对射线的吸收散射线散射线37.1计算机断层扫描技术计算机断层扫描技术又称为计算机层析或CT（ComputedTomography)利用数字图像处理技术来获取三维图像。CT机通常包括X射线管、X射线检
2、测器、扫描机架、病人床、用来重建图像结构的工作站。图7.4CT扫描成像的示意图7医学影像领域：ComputedTomography(CT)：获1979年诺贝尔奖（NobelPrice）布尔赫、珀塞尔，获1952年诺贝尔奖，发现了核磁共振现象劳特布尔（美）、P·曼斯菲尔德（英）获2003年年诺贝尔奖，核磁共振的研究（英）G.N.Hounsfield（美）AllanM.Cormack8CT实例：扫描系统的X射线源和检测器，始终保持严格的相对静止；射线管发出的是直线形波束，扫描机构围绕人体作旋转加平移运动；以检测器的位置为自变量，就构成如图7.5(b)的电流—位置函数曲线。图7.5CT一次
3、平移扫描所获得的输出信号9第一次直线平移扫描完毕后，扫描系统旋转一个小角度，再作第二次直线式平移扫描，获得另一组投影数据；重复以上过程，便得到很多组投影数据；对这些数据进行处理形成三维图像。图7.6头颅CT扫描成像示意图107.2投影定理一个N维函数在第N-1维上的映射称为函数f在第N-1维的投影。二维：函数f(x,y)在x轴上（沿y方向）的投影函数f(x,y)在y轴上（沿x方向）的投影设f(x,y)的傅立叶变换为F(u,v)，可得：（7.1）（7.2）（7.3）11把式（7.3）代入到式（7.1）可得：可知gy(x,)是F(u,0)的傅氏反变换，或gy(x,)的傅氏变换G(u)与F
4、(u,0)相同。结论，函数f(x,y)在x轴上投影gy(x)的傅立叶变换等于f(x,y)的傅立叶变换F(u,v)在(u,v)平面上沿u轴平面上的切片F(u,0)。（7.4）12沿y轴的投影图示沿y轴的的投影示意图f(x,y)(a)二维函数f(x,y)在x轴上投影yxgy(x)(b)f(x,y)傅立叶变换F(u,v)在u轴上切片F(u,v)vuF(u,0)13假设函数f(x,y)投影到一条经过旋转的直线上t1，t是一条与t1平行经过原点的直线，与t垂直经过原点的直线为s，该直线s与x轴的夹角为θ，直线t1离开原点的距离为s1，如图7.9所示。以s和t可用θ为极坐标：函数f(x,y)沿着
5、t1方向s投影为：图7.9坐标旋转关系(7.6)14将投影式(7.6)只对s1作一维傅立叶变换，将指数项作变换，得uv(u,v)θ0r（7.8）（7.9）15投影定理（切片定理）：f(x,y)在一条与x轴夹角为θ，离开原点距离为r的直线上的投影的傅立叶变换＝＝二维傅立叶变换在与u轴成θ方向上的切片三维图像重建基础：若投影变换G(r,θ)中对所有的r和θ值都已知，则图像的二维傅立叶变换也可以完全确定，进行二维傅立叶反变换，就可以得到f(x,y)。图7.10投影定理示意图f(x,y)yxθvuF(u,v)F(r,θ)tsθ16三维投影定理：令f(x,y,z)表示一个三维物体，它的三维傅立
6、叶变换为如ω=0其中gz(x,y)正是f(x,y,z)在(x,y)平面上的投影，即表明f(x,y,z)在(x,y)平面上投影的傅立叶变换＝＝f(x,y,z)的三维傅立叶变换F(u,v,ω)在ω=0平面上的切面F(u,v,0)。与(x,y)平面成夹角为θ的平面上投影的傅立叶变换＝＝三维傅立叶变换F(u,v,ω)在与(u,v)平面成θ角的切面F(u,v,θ)。（7.13）（7.12）（7.11）177.3傅立叶投影重建傅立叶投影重建的基础：傅立叶投影定理。根据投影定理，就可以得到F(u,v)分别在相应角度位置上的切片；当切片趋向无穷多，就可获得在(u,v)平面上的所有F(u,v)值；由F
7、(u,v)进行傅立叶反变换就可以重建图像f(x,y)。将f(x,y)沿s方向的投影表达式及其一维傅立叶变换式改写为：令u=Rcosθ,v=Rsinθ，根据投影定理，用极坐标(R,θ)来表示:结论：如果知道所有R和θ的投影变换值G(R,θ)，则变换域的二维函数将全部确定，取傅立叶反变换就可以得到图像函数。（7.13）（7.14）（7.15）18利用傅立叶变换的共轭对称性，积分限由0～2π换成0～π，R→
8、R
9、，积分限由0～∞换成－∞～＋∞，上式：记傅立叶投影
