现代控制理论第一章02.ppt

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1、第一章控制系统的状态空间描述4、根据系统传递函数的方块图建立状态空间表达式步骤：1）将系统的各个环节变换成相应的模拟结构图；2）将积分器的输出选为系统的状态变量，由模拟结构图写出系统的状态方程和输出方程。1/s典型环节转换成结构图例1（见书）图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图（选择积分环节后的变量为状态变量）：则有：写成矩阵形式：前面已经介绍了SISO系统从传递函数求系统的状态空间表达式,下面将介绍其逆问题,即怎样从状态空间表达式求系统的传递函数阵。已知MIMO线性定常系统的状态空间表达式为其中x为n维状态向量;u为r维输入向量;y为

2、m维输出向量。1.4从状态空间表达式求系统传递函数（阵）对上式取拉氏变换,有其中X(s)、U(s)和Y(s)分别为x(t)、u(t)和y(t)的拉氏变换;x(0)为x(t)的在初始时刻t=0的值。由于传递函数阵描述的是系统输入输出间动态传递关系,不考虑系统初始条件的影响。因此令x(0)=0,于是由状态方程的拉氏变换式有X(s)=(sI-A)-1BU(s)将上述X(s)代入输出方程,有Y(s)=[C(sI-A)-1B+D]U(s)线性定常连续系统的传递函数阵为G(s)=C(sI-A)-1B+D若对于输入与输出间无直接关联项(即D=0)的系统,则有G(s

3、)=C(sI-A)-1B对r维输入、m维输出的MIMO系统,若其输入输出的拉氏变换分别为U(s)和Y(s),则系统的输入输出间的动态关系可表示为Y(s)=G(s)U(s)其中G(s)称为传递函数阵,其每个元素为标量传递函数。G(s)的形式为其中Gij(s)描述了第i个输出与第j个输入之间的动态传递关系。SISO系统，用传递函数G(s)描述，G(s)是一个元素；MIMO系统，多个输入对多个输出，故引入传递函数矩阵G(s)，G(s)是一个矩阵，可以表征多个输入对系统输出的影响；同一系统，不同的状态空间表达式对应的传递函数阵应是相同的。即描述系统输入与输出

4、间动态传递关系的传递函数阵对状态变换具有不变性。[例]求由所表述系统的W(s)[解]：由传递函数矩阵公式得：根据矩阵求逆公式：求得：求得传递函数阵为：1.5组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵已知两独立子系统的状态空间描述和传递函数如下研究系统三种连接下的数学模型1）串联2）并联3）反馈1)并联连接并联连接组合系统结构图设两个子系统的传递函数阵为其对应的状态空间表达式分别为从图可知u1=u2=uy1+y2=y故可导出并联联结组合系统的状态空间模型为因此,由上述状态空间表达式可知,并联组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量的维数之和。由组合系统的状

5、态空间表达式可求得组合系统的传递函数阵为并联组合系统的传递函数阵为各并联子系统的传递函数阵之和。2)串联连接串联联接组合系统方块结构图设图所示的串联联结的组合系统的两个子系统的传递函数阵分别和并联连结的结构相同,其对应的状态空间表达式也分别相同。从图可知u1=uu2=y1y2=y因此可导出串联组合系统的状态空间方程为相应的输出方程为串联连接组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量的维数之和。由串联组合系统的状态空间模型可求得组合系统的传递函数阵为串联联结组合系统的传递函数阵为串联系统各子系统的传递函数阵的顺序乘积。应当注意,由于矩阵不满足乘法交换律

6、,故在上式中G1(s)和G2(s)的位置不能颠倒,它们的顺序与它们在系统中的串联联结顺序一致。3)反馈连接反馈连接组合系统结构图设对应于图所示的反馈联结组合系统的两个子系统的传递函数阵为其对应的状态空间模型分别为从图可知u1=u-y2u2=y1=y因此可导出反馈组合系统的状态空间模型为即有反馈联结组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量的维数之和。Y(s)=G0(s)U1(s)=G0(s)[U(s)-Y2(s)]=G0(s)[U(s)-F(s)Y(s)][I+G0(s)F(s)]Y(s)=G0(s)U(s)Y(s)=[I+G0(s)F(s)]-1G

7、0(s)U(s)反馈联结组合系统的传递函数为G(s)=[I+G0(s)F(s)]-1G0(s)或G(s)=G0(s)[I+F(s)G0(s)]-1由反馈联结组合系统的联结图可知状态空间模型不具有唯一性.原因:状态变量的不同选择两个问题:各种不同选择的状态变量之间,以及它们所对应的状态空间模型之间的关系如何?如何把一般形式的状态空间模型变换成特定形式的状态空间模型,以降低系统的分析问题和设计问题的难度。1.6状态向量的线性变换和状态空间表达式的特征标准型1.系统状态的线性变换对于一个n阶动态系统,可通过选择适当的n个状态变量以建立状态空间模型来描述它

8、。n个状态变量的选择却不是唯一的。这一点可利用线性代数中的基底不唯一来理解。一个n维线性独立的状态变量向量,