3、.（2）设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m,n，则直线l与平面α所成角θ满足sinθ＝
4、cos〈m，n〉
5、.（3）求二
6、面角的大小1°如图①，AB、CD是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，>．2°如图②③，n1，n2分别是二面角α-l—β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．2。点面距的求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝。[难点正本 疑点清源]1．向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的
7、夹角公式计算．2．利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平面α、β的向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1,n2的夹角是相等，还是互补．3．个人收集整理勿做商业用途求点到平面距离的方法：①垂面法：借助面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；②等体积法,转化为求三棱锥的高；③等价转移法；④法向量法．1．若平面α的一个法向量为n＝(4,1，1），直线l的一个方向向量为a＝（－2,－3，3),则l与α所成角的正弦值为___________．答案 解析 ∵n·a＝－8－3＋3＝－8，
8、｜n
9、＝＝3，｜a｜＝＝，∴cos〈n，a〉＝＝＝－.又l与α所成角记为θ，即sinθ＝｜cos〈n，a〉｜＝.2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角为________．答案 30°解析 由题意得直线l与平面α的法向量所在直线的夹角为60°，∴直线l与平面α所成的角为90°－60°＝30°。3．从空间一点P向二面角α—l-β的两个面α,β分别作垂线PE,PF,垂足分别为E,F，若二面角α—l—β的大小为60°，则∠EPF的大小为__________．答案 60°或120°4.如图所示，在空间直角坐标系
10、中，有一棱长为a的正方体ABCO—A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为________．答案 a解析 由图易知A（a,0,0),B(a，a,0），C(0，a,0)，A′（a,0,a)．∴F,E。∴EF＝＝＝a.5．在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中点，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于________．答案 解析 以D为原点,分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，个人收集整理勿做商业用途∴F(1,0，0）,D1（0，0，2），O
11、（1,1，0),E(0，2，1）,∴＝(－1，0,2），＝（－1,1，1），∴cos〈，〉＝＝。题型一 求异面直线所成的角例1 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F、G分别是棱C1D1、AA1的中点，设点E1、G1分别是点E、G在平面DCC1D1内的正投影．（1)证明：直线FG1⊥平面FEE1;（2）求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．思维启迪：本题可方便地建立空间直角坐标系，通过点的坐标得到向量坐标，然后求解．（1)证明 以D为原点，、、分别为z轴、y轴、x轴的正向,｜｜为1个单位长度
12、建立空间直角坐标系．由题设知点E、F、G1、E1的坐标分别为(1，2,1)，(0，1,2），(0，0,1),（0,2,1），∴＝(0，1，－1），＝(0,－1，－1),＝（－1,0，0），∴·＝0，·＝0⇒⊥，⊥，又∵EE1∩FE1＝E1。∴FG1⊥平面FEE1。(2)解 由题意知点A的坐标为（2,0，0),又由（1)可知＝(1，－2，－1）,＝（0，－2，0），∴cos〈，>＝＝，∴sin〈,〉＝＝.探究提高 用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角的范围是θ∈，两向量的夹角α的范围是［0，π
13、]，所以要注意二者的区别与联系，应有cosθ＝
14、cosα｜.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E、F
