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《2016新课标创新人教A版数学选修4-11.4直角三角形的射影定理.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、个人收集整理勿做商业用途[核心必知]1．射影的有关概念(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．（2）线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段，叫做这条线段在直线上的正射影．(3）点和线段的正射影简称为射影．2．射影定理个人收集整理勿做商业用途直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．［问题思考]1．线段的正射影还是线段吗？提示：不一定．当该线段所在的直线与已知直线垂直时，线段的正射影为一个点．2．如何用勾股定理证明射影
2、定理?提示：如图，在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，∴（AD＋DB）2＝AC2＋BC2，∴AD2＋2·AD·DB＋DB2＝AC2＋BC2，个人收集整理勿做商业用途即2AD·DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2.∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，∴2AD·DB＝2CD2，即CD2＝AD·DB。在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD·DB＝AD（AD＋DB）＝AD·AB，即AC2＝AD·AB。在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD·DB＋BD2＝BD（AD＋DB
3、)＝BD·AB,即BC2＝BD·AB.个人收集整理勿做商业用途 如图,在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，已知BD＝4，AB＝29，试求BC，AC和CD的长度．[精讲详析］ 本题考查射影定理的应用．解答本题可由已知条件先求出AD，然后利用射影定理求BC，AC和CD的长度．∵BD＝4,AB＝29，∴AD＝25由射影定理得CD2＝AD·BD＝25×4＝100，∴CD＝10。BC2＝BD·BA＝4×29.∴BC＝2。AC2＝AD·AB＝25×29，∴AC＝5.运用射影定理时，要注意其成立的条件
4、，要结合图形去记忆定理,个人收集整理勿做商业用途当所给条件中具备定理的条件时，可直接运用定理,不具备时可通过作垂线使之满足定理的条件，再运用定理．1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，DE⊥BC于E，若AD＝，BE＝2，求BC的长．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴BC2＝BD·AB＝BD·（BD＋AD)．∵AD＝，∴BC2＝BD2＋BD①∵CD⊥AB，DE⊥BC，∴BD2＝BE·BC.∵BE＝2,∴BD2＝2BC,∴BD＝②个人收集整理勿做商业用途将②代入①得:BC2＝2BC＋3，
5、∴BC2－2BC＝3,∴(BC2－2BC)2＝45BC,∴BC4－4BC3＋4BC2＝45BC。∵BC>0，∴BC3－4BC2＋4BC－45＝0，∴(BC－5)(BC2＋BC＋9）＝0.∵BC2＋BC＋9≠0，∴BC－5＝0,∴BC＝5. 个人收集整理勿做商业用途如图所示,CD垂直平分AB，点E在CD上,DF⊥AC，DG⊥BE，F、G分别为垂足．求证：AF·AC＝BG·BE。［精讲详析] 本题考查射影定理的应用，以及利用分割法分析解决问题的能力，解答本题需要将原图形分割成两个直角三角形,然后分别利用射影定理
6、求证．因为CD垂直平分AB,所以△ACD和△BDE均为直角三角形,并且AD＝BD.又因为DF⊥AC，DG⊥BE,所以AF·AC＝AD2,BG·BE＝DB2.因为AD2＝DB2，所以AF·AC＝BG·BE。将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类问题时,一定要注意对图形进行剖析．个人收集整理勿做商业用途2.如图所示，在△ABC中,∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC的角平分线，交AD于点F，求证：＝.证明：∵BE是∠ABC的角平分线，∴Rt△B
7、DF∽Rt△BAE，∴＝，①又△ABF∽△CBE,∴＝.②在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2＝BD·BC，即＝。③由①③得＝，④个人收集整理勿做商业用途由②④得＝。射影定理常与勾股定理及三角形相似等问题结合考查．本考题将射影定理与勾股定理相结合,考查其在几何相关量的计算中的应用,是高考命题的一个考向．［考题印证］如图，在△ABC中,D、F分别在AC、BC上,且AB⊥AC,AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1。求AC的长．［命题立意] 本题主要考查射影定理和勾股定理的综合应用．个人收集整理勿做商业用途［解］
8、在△ABC中,设AC为x，∵AB⊥AC,AF⊥BC，又FC＝1,根据射影定理，得AC2＝FC·BC，即BC＝x2.再由射影定理,得AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC，即AF2＝x2－1.∴AF＝.在△BDC中，过D作DE⊥BC于E，∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC.又∵AF⊥BC,∴DE∥AF.∴＝.∴DE＝＝。个人收集整理勿做商业用途在Rt△DEC中，∵DE2＋EC2＝DC2，即＋＝12，∴＋＝1。整理得x
