直角三角形的射影定理 课件（人教A选修41）.ppt

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1、[读教材·填要点]1．射影的有关概念(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的．(2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段，叫做这条线段在直线上的．(3)的正射影简称为射影．正射影正射影点和线段2．射影定理直角三角形斜边上的的比例中项；两直角边分别是与的比例中项．两直角边在斜边上射影它们在斜边上射影斜边[小问题·大思维]1．线段的正射影还是线段吗？提示：不一定．当该线段所在的直线与已知直线垂直时，线段的正射影为一个点．2．如何用勾股定理证明射影定理？提示：如图，在Rt△ABC中，

2、∵AB2＝AC2＋BC2，∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2，∴AD2＋2·AD·DB＋DB2＝AC2＋BC2，即2AD·DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2.∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，∴2AD·DB＝2CD2，即CD2＝AD·DB.在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD·DB＝AD(AD＋DB)＝AD·AB，即AC2＝AD·AB.在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD·DB＋BD2＝BD(AD＋DB)＝BD·AB，即BC2＝BD·AB.[研一题][例1]

3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，已知BD＝4，AB＝29，试求BC，AC和CD的长度．分析：本题考查射影定理与勾股定理的应用．解答本题可由已知条件先求出AD，然后利用射影定理求BC，AC和CD的长度．[悟一法]运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直接运用定理，不具备时可通过作垂线使之满足定理的条件，再运用定理．[通一类][研一题][例2]如图所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、G分别为垂足．

4、求证：AF·AC＝BG·BE.分析：本题考查射影定理的应用，以及利用分割法分析解决问题的能力，解答本题需要将原图形分割成两个直角三角形，然后分别利用射影定理求证．[悟一法]将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类问题时，一定要注意对图形进行剖析．[通一类]2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线交AC的延长线于H，求证：DF2＝FG·FH.证明：∵BE⊥AC，∴∠ABE＋∠BAE＝90°.同理，∠H＋∠HAF＝90°

5、∴∠ABE＝∠H.又∠BFG＝∠HFA，∴△BFG∽△HFA.∴BF∶HF＝FG∶AF.∴BF·AF＝FG·FH.Rt△ADB中，DF2＝BF·AF，∴DF2＝FG·FH.射影定理常与勾股定理及三角形相似等问题结合考查.2012年中山模拟将射影定理与勾股定理相结合，考查其在几何相关量的计算中的应用，是高考模拟命题的一个考向．[考题印证](2012·中山模拟)如图，在△ABC中，D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1.求AC的长．[命题立意]本题主要考查射影定理和勾股定理

6、的综合应用．解：在△ABC中，设AC为x，∵AB⊥AC，AF⊥BC又FC＝1，根据射影定理，得AC2＝FC·BC，即BC＝x2.再由射影定理，得AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC，点击下图进入“创新演练”