第2章新控制系统的数学模型.doc

《第2章新控制系统的数学模型.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、个人收集整理勿做商业用途第2章控制系统的数学模型控制系统的数学模型，是描述系统输入、输出以及内部各变量之间关系的数学表达式。建立描述控制系统的数学模型，是控制理论分析与设计的基础.一个系统,无论它是机械的、电气的、热力的、液压的、还是化工的等都可以用微分方程加以描述.对这些微分方程求解，就可以获得系统在输入作用下的响应（即系统的输出）。对数学模型的要求是，既要能准确地反映系统的动态本质,又便于系统的分析和计算工作。建立控制系统的数学模型，一般采用解析法和实验法两种。解析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据所依据的物理规律或化学规律(例如，电学中有克希荷夫定律、力学中有牛顿定律、热力学

2、中有热力学定律等）分别列写相应的运动方程。实验法是人为地给系统施加某种测试信号，记录其响应，按照物理量随时间的变化规律,用适当的数学模型去逼近，这种方法又称为系统辨识。近些年来，系统辨识已发展成一门独立的学科分支。本章主要采用解析法建立系统的数学模型.数学模型有多种形式。时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程和状态方程；复域中有传递函数、结构图;频域中有频率特性等.本章只研究微分方程、传递函数和结构图等数学模型的建立及应用。2。1物理系统动态描述微分方程是在时域中描述系统（或元件）动态特性的数学模型，利用它可以得到描述系统(或元件)动态特性的其他形式的数学模型.这里主要运用机理建模法对

3、常见的机械、电气等物理系统建立其数学模型.2。1.1列写微分微分方程的一般方法列写系统或元件的微分方程，目的在于确定系统输入量与输出量之间的数学关系，而系统由元件组成。用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤是:⑴根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输入、输出变量;⑵从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理（或化学)定律，列写出各元部件的动态方程，一般为微分方程组;⑶消去中间变量,写出输入、输出变量的微分方程;⑷将微分方程标准化,即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，各阶导数项按降幂排列。2.1.2机械系统的微分方程机械系统的微分方程可以

4、运用牛顿定律进行推导。下面通过举例说明机械系统微分方程的求取方法。1.机械系统微分方程例2—1设有一个由弹簧、质量、阻尼器组成的机械平移系统，如图2—1个人收集整理勿做商业用途所示。试列写出系统的数学模型。图2—1机械平移系统解由牛顿第二定律有，即整理得（2-1）式中：m-运动物体质量，kg；y-运动物体位移,m；f—阻尼器粘性阻尼系数，N·s/m；-阻尼器粘滞摩擦阻力，它的大小与物体移动的速度成正比，方向与物体移动的方向相反，;k—弹簧刚度，N/m；—弹簧的弹性力，它的大小与物体位移（弹簧拉伸长度）成正比,。运动方程式(2-1）即为此机械平移系统的数学模型。例2-2设有一个由惯性负载和

5、粘性摩擦阻尼器组成的机械回转系统，如图2-2所示。外力矩M(t)为输入信号，角位移θ（t）为输出信号,试列写出系统的数学模型.图2。—2机械回转系统解由牛顿第二定律，有，即个人收集整理勿做商业用途整理得(2-2）式中：J—惯性负载的转动惯量，kg·m2；θ—转角，rad；f—粘性摩擦阻尼器的粘滞阻尼系数，N·m·s/rad;kJ-扭转弹簧刚度,N。m/rad；运动方程式(2—2）就是此机械旋转系统的数学模型。例2—3设有如图2-3所示的齿轮传动链，试对传动链进行动力学分析。a)原始轮系图b）等效轮系图2-3齿轮传动链解由电动机M输入的转矩为Tm，L为输出端负载,TL为负载转矩。图中所示的

6、zi为各齿轮齿数，J1、J2、J3及θ1、θ2、θ3分别为各轴及相应齿轮的转动惯量和转角。假设各轴均为绝对刚性，即KJ→∞，根据牛顿第二定律式可得如下动力学方程组(2-3)式中:f1、f2、f3-—传动中各轴及齿轮的粘性阻尼系数；T1-—齿轮z1对Tm的反转矩，N·m；T2——z1对T1的反转矩,N·m;T3——z3对T2的反转矩,N·m；T4——z4对T3的反转矩，N·m；TL—-输出端负载对T4的反转矩，即负载转矩.由齿轮传动的基本关系可知：；于是由式（2-3）可得:个人收集整理勿做商业用途(2—4)令；Jeq称为等效转动惯量；令；feq称为等效阻尼系数;令；TLeq称为等效输出转矩

7、。则有(2—5)则图2—3（a）所示传动装置可简化为图2-3（b）所示的等效齿轮传动装置.2。1。3电气系统的微分方程电气系统的微分方程根据欧姆定律、基尔霍夫定律(克希荷夫定律）、电磁感应定律等物理定律来进行列写,下面通过举例来说明列写方法。例2—4图2-4所示为一无源滤波器电路，试写出以输出电压uo（t)和输入电压ui（t)为变量的滤波网络的微分方程。图2-4RC电路解根据基尔荷夫定律（克希荷夫定律)，可写出下列原始方程式；（2—