第2章控制系统的数学模型.doc

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1、控制系统的数学模型（2章补充）描述变量之间关系的代数方程叫静态数学模型；描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数学模型。同一系统可用不同的数学模型形式描述，输入输出型，外部描述，经典控制理论的主要研究方法。状态变量型，内部描述，适用于多输入多输出系统、时变、非线性和随机控制系统。本课略方框图模型，描述系统结构比较直观。传递函数：按0初始态进行拉氏变换，将微分方程转换成数学方程以方便分析和计算。时域响应：信号按时间变化的规律。微分方程形式频域响应：信号按频率变化的规律。将传递函数中的S用jω代换两者之间有确定的对应关系。数学模型的建立方法有分析法和

2、实验法两类。分析法是依据物理和化学定律，列写出各变量之间的数学关系式。也称为解析法。实验法是对系统施加某种典型输入信号，记录其输出响应，比对已知关系得到系统的数学模型。时域数学模型举例在如图无源电路网络系统中，和为电阻，为电容，为输入电压；为输出电压。根据基尔霍夫定律和欧姆定律，有（2-1）整理后输入输出模型为（2-2）有源电路网络系统如图，为电阻，为电容，为输入电压；为输出电压，为理想运算放大器。运算放大器的反相输入端A点为虚地点，则据此，可列出和的关系：（2-3）经整理，（2-4）图2-3中水箱的流入流量为Qi，流出流量QO，它们都受相应的阀门

3、控制。设该系统的输入量为Qi，输出量为液面高度H，则它们之间的微分方程式可列写如下：设液体是不可压缩的，根据物质守恒定律，可得：(2-5)式中A—水箱截面积(米2)；H—液面高度(米)；Qi、QO—流入、流出液体流量(米3/秒)。这里QO是个变量，所以须求出中间变量QO才能得到H与Qi的关系。假设通过节流阀的流体是紊流，按流量公式可得(2-6)式中α为节流阀的流量系数，当H变化不大时，α可近似认为只与节流阀的开度有关，若节流阀开度不变，则α为常数。消去中间变量QO，就得输入输出关系式(2-7)这是个一阶非线性微分方程式。对于较复杂的系统，列写输入输

4、出系统微分方程可采用以下一般步骤：（1）将系统划分为环节，确定各环节的输入及输出信号，每个环节可考虑列写一个方程。（2）根据定律或通过实验等方法得出的规律列写各环节的方程式，并考虑适当简化，线性化。（3）消去中间变量，最后得出只含输入变量、输出变量以及参量的系统方程式。单输入、单输出系统用微分方程表示的数学模型有如下的一般形式：++…+=+…+（2-8）式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，a0，a1，…，an，b0，b1，…，bm是与系统结构参数有关的常系数。令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始条件为零时，对上式

5、进行拉氏变换，可得到s的代数方程[++…++]=[++…++]（2-9）于是，系统的传递函数为：（2-10）传递函数是在初始条件为零(或称零初始条件)时定义的。控制系统的零初始条件有两方面的含义，一是指输入作用是在t=0以后才作用于系统，因此，系统输入量及其各阶导数在t=0时的值均为零；二是指系统在输入作用加入前是相对静止的，因此，系统输出量及其各阶导数在t=0时的值也为零。现实的控制系统多属此类情况，这时，传递函数可以完全表征系统的动态性能。传递函数的性质图2-4传递函数的图示传递函数是个非常重要的概念，它是分析线性定常系统的有利数学工具，它有以

6、下特点：（1）传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与初始条件和输入无关。（2）传递函数只适用于线性定常系统，因为它是由拉氏变换而来的，而拉氏变换是一种线性变换。（3）传递函数是复变量的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质，≤且所有系数均为实数。（4）传递函数与微分方程是一一对应的。传递函数分子多项式系数及分母多项式系数，分别与相应的微分方程的右端及左端微分算符多项式系数相对应。故将微分方程的算符用复数置换便得到传递函数；反之，将传递函数多项式中的变量用算符置换便得到微分方程。（5）一个传递函数只能表示一个输入与一个输出之间的关系，对于多输入-

7、多输出系统，不能用一个传递函数去描述，而要用传递函数矩阵去表征系统输入与输出间的关系。（6）传递函数的拉氏反变换是脉冲响应。脉冲响应是系统在单位脉冲输入时的输出响应，此时，故有。（7）传递函数的零点和极点。传递函数用因式连乘的形式表示：，≤式中k为常数，-z1,…,-zm为传递函数分子多项式方程的m个根，称为传递函数的零点；-p1,…,-pn为分母多项式方程的n个根，称为传递函数的极点。显然，零、极点的数值完全取决于诸系数b0…bm及a0…an，亦即取决于系统的结构参数。一般zi,pi可为实数，也可为复数，且若为复数，必共轭成对出现。将零、极点标在

8、复平面上，则得传递函数的零极点分布图，如图2-8所示。图中零点用“”表示，极点用“”表示。  典型环节及其传递函数不管元件