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1、初中数学综合题解析题目：如图①，抛物线y=a（x-1）2+h的顶点为D，交y轴于点C（0，3），交x于A、B两点，且OB=OC。（1）求a、h；图①（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M（x,y），设△BCM的面积为S，试求出S关于x的函数关系式，并判断S是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由；使得△DCA的面积最大，求点D的坐标；（3）设点N是抛物线的对称轴上一动点，问是否存在点N,使得以点B、C、N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。一、设计说明：此题是二
2、次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，勾股定理的运用，三角形的面积等知识，综合性较强，有一定难度，解题的关键是方程思想、数形结合思想与分类讨论思想的应用．强调通解通法，淡化特殊技巧；试题设计依据《数学课程标准》,依托教材,符合考纲要求,难易程度适中,具有一定的区分度，试题源于教材，立足数学通性、通法，本试题运算量较适中，阅读量较少，难度偏大，具有一定的区分度。试题强调知识的综合，具有科学性、导向性。二、试题讲解过程：（1）由OB=OC与C（0，3）易知点B（3，0）根据待定系数法，可得a＝－
3、1，h＝4；ME（2）根据图形的割补法，可得面积的和差，根据二次函数的性质，可得答案；法一：如图②过点M作ME⊥x轴交直线BC于E,易知直线BC的解析式为y=－x+3，∵M点的坐标为（x，-x2+2x+3），过点M作ME⊥x轴交BC于E点，图②∴E点的坐标为（x，-x+3），ME=(-x2+2x+3)﹣（-x+3）=﹣x2+3x，用h表示点C到线段ME所在直线的距离，则S△BCM=S△CEM+S△BEM=ME•h+ME（3﹣h）=ME×3=ME=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+∵0＜x＜3，∴当x=时，△BCM的面积最大，
4、此时M点的坐标为（，）；ME法二：如图③过点M作ME⊥y轴于E，利用梯形OBME的面积减去直角三角形OBC和EMC的面积同样可求（解答过程略）图③(3)此为结论存在性探究类型的题目，解答时一般是先假定存在这样的直角三角形，通过直角三角形这个条件，展开计算推理，最后下结论。（注意分类讨论的运用）解答过程：存在，法一：∵抛物线y=－1（x-1）2+4的对称轴方程为x=1，如图④，设N（1，m），∴BC2=18，NB2=（1﹣3）2+m2=m2+4，NC2=（m﹣3）2+(1-0)2=m2-6m+10，当△BCN为直角三角
5、形时，NF①当∠BCN=90°时，BC2+NC2=NB2，即18+m2-6m+10=m2+4，解得：m=4，此时N（1，4）②当∠CBN=90°时，BC2+NB2=NC2，即18+m2+4=m2-6m+10，解得；m=-2，此时N（1，－2）图④③当∠BCN=90°时，NB2+NC2=BC2，即(m2+4)+(m2-6m+10)=18，解得：m=，此时N（1，）或N（1，）综上所述，当点N的坐标分别是（1，4）或（1，－2）或（1，）或（1，）时．以点B、C、N为顶点的三角形是直角三角形．点评：本解法利用勾股定理进行
6、说理．法二：由OB=OC知△OBC为等腰直角三角形，所以∠BCO=∠BCO=450FNE①当∠BCN=90°时，如图④，过点C作CF⊥对称轴于F，此时△CFNB也为等腰直角三角形，易得N（1，4）②当∠CBN=90°时，同理易得N（1，－2）③当∠BCN=90°时，（同法一）或用直径所对的圆周角是900进行解题（如图⑤所示）过点C作CF⊥对称轴于F，对称轴交x轴于点E，则有图⑤△CEF∽△NBE,又CF＝1，FN=3-m,BE=2,EN=－m则有，整理得m2－3m－2=0，解得解得：m=，此时N（1，）或N（1，）三
7、、拓展延伸1、（2）问可做如下变式设计：a、在直线AC上方的抛物线上是否存在点M（x,y），使得△BCM的面积最大？如果有，请求出点M的坐标，如果没有，请说明理由；b、设点M（x,y）是抛物线上一动点，设△BCM的面积为S，当S＝时，求点M的坐标；2、（3）问可做如下延伸变式：a、设点N是抛物线的对称轴上一动点，问是否存在点N,使得以点B、C、N为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．b、设点N是抛物线上一动点，问是否存在点N,使得以点B、C、N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，
8、请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由c、设点N是抛物线上一动点，问是否存在点N,使得以点B、C、N为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由试题的价值及反思1、本题背景简单，入口宽，计算量不大，从二次函数的性质出发，通过合情推理，融合了三角形的面积计算、直角三角形和抛物线中相应的性质,感受数学知识的内在统一与普
