第六节数值积分和数值微分.ppt

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1、第六章数值积分和数值微分16.1数值积分回顾：在微积分中，Newton-Leibniz公式但在实际中，该公式往往没法用；为什么？数值积分：即是有限离散节点上的函数值的某种线性组合21、只知道目标函数的一些离散数据值；2、原函数F(x)不存在；3、原函数F(x)存在但非常复杂，不易求出或求不出；其中，称为积分系数；与f(x)无关，与积分区间和积分点有关。例：3为数值积分，为精确积分，则称数值积分有k阶代数精度是指：问题：如果判断好坏？代数精度对任意次数不高于k次的多项式f(x)，数值积分都没有误差(但k+1次的有误差)。

2、4记用插值函数的积分，作为数值积分代数精度由Lagrange插值的误差表达式，，有可以看出，至少n阶代数精度插值型数值积分n次Lagrange插值函数Lagrange插值基函数为求积系数5Vandermonde矩阵已知求系数所以，如果m=n，则积分系数唯一积分系数是否唯一？6若数值积分至少有n阶代数精度，则求积系数唯一积分误差7Lagrange插值基函数注：插值误差的积分即是插值型数值积分的误差！Newton-Cotes积分若积分节点可自由选取，则一个简单的办法就是取等距节点，即对区间做等距剖分。这种数值积分称为New

3、ton-Cotes积分8a=x0x1x2xn-2xn-1x4xn=bx3设节点步长(b-a)与积分点坐标、积分区间长度无关，故可以预先求出。Newton-Cotes系数9积分系数n＝1时梯形公式10n＝2时Simpson公式11Newton-Cote’s系数121、梯形公式此处用了积分中值定理误差线性（1次）插值余项13不难看出，梯形公式具有1阶代数精度2、Simpson公式注意到Simpson公式有3阶代数精度，为了推导该数值积分公式的误差，我们构造一个3次多项式为0,why?14则通常有因此，在N-C积分中，n为偶

4、数时有n+1阶代数精度，而n为奇数时有n阶代数精度。例如：n=1时，梯形公式，1阶代数精度；n=2时，Simpson公式，2+1=3阶代数精度。令156.2复化数值积分数值积分公式与多项式插值关系非常密切！因此Runge现象的存在，使得我们不能用太多的积分点计算。与插值时的情况类似，可采用分段、低阶的方法。16取等距节点，复化梯形公式17积分误差a=x0x1x2xn-2xn-1x4xn=bx3由均值定理,可以看出，复化梯形公式是收敛的。思考：如果节点不等距，还可以做复化积分吗？18积分误差取等距节点，复化Simpson

5、公式19积分误差由均值定理知，可以看出，复化Simpson公式是收敛的。20a=x0x1x2xn-2xn-1x4xn=bx3问题：一共做了多少次Simpson？n/2=m次积分误差a=x0x1x2x3x4f(x)x5b=x6复化梯形与复化Simpson设节点等距，定义若一个积分公式的误差满足且C0，则称该公式是p阶收敛的。~~~例：计算解：其中=3.138988494其中=3.141592502运算量基本相同22Lab06复化积分1.分别编写用复化Simpson积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序。2.用如

6、上程序计算积分取等距节点，记节点{xi,i=0,…N}，其中N为{2k,k=0,1,…,10}，并计算误差(用科学计数形式)，同时给出误差阶（用浮点形式，比如1.8789）。3.简要分析两种方法的优劣。23误差阶：则，相应的误差阶为：24记步长为h时的误差为,步长为h/n时的误差为（这里n=2）,SampleOutput(representsaspace)复化梯形积分，误差(科学计数形式)和误差阶为k=0,e0=0.############e00k=1,e1=0.############e-1,d1=？比如d

7、1=1.1111k=2,e2=0.############,d2=？...复化Simpson积分，误差和误差阶为k=1,e0=0.############e00k=2,e1=0.############e-1,d1=？...25