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《《点集拓扑学》§6.3Urysohn引理和Tietze扩张定理.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、个人收集整理勿做商业用途§6.3 Uryｓohn引理和Ｔiｅtze扩张定理 本节重点: 掌握Urysohn引理的内容(证明不要求）； 掌握定理6.３.2的证明方法. 定理6.3.1 [Uryｓohn引理]设X是一个拓扑空间,[a，b］是一个闭区间．则X是一个正规空间当且仅当对于X中任意两个无交的闭集A和Ｂ，存在一个连续映射f:Ｘ→［a，b]使得当x∈A时f（x)=ａ和当x∈B时f（ｘ)=b. 证明：由于闭区间同胚于[0，1］，因此我们只需对闭区间[0,1]的情形给以证明.充分性:设是中的两个闭集,是一个连续映射使得当时,,时．由于集合是［0,１]中两个不相交的开集,因此
2、.和是中两个不相交的开集,并且,因此是一个正规空间.必要性.设是一个正规空间,A,Ｂ是中两个不相交的闭集,证明的主要思想是首先利用的正规性在中构造一个以[０，１]中的有理数为指标集的一个开集族，然后利用这个开集族定义连续映射,使得时,,时.第一步，设是［０,1]中的全体有理数集合,对我们将定义一个与它相对应的开集,使得当时,,这样，开集族在包含关系下是一个有序集,而且随着开集的指标的增大所对应的开集也就越大.由于是可数集合,我们应用归纳的方式来定义开集族.先将排列成一个无限序列,即建立一一映射,为了方便,不失一般性,设和是这个序列的前两个元素.首先,，令.又由于是一个正规
3、空间,由定理６.4.２可知存在开集使得.记,假设对于2,集族已有定义,而且当时,对于,由于集合是一个有限集，而且有，故这个集合必有最大元，设,又集合是一个有限集合,而且,令.个人收集整理勿做商业用途由归纳假设知一定有.由于,由定理６．4.2知存在中开集使得.令,则集族也满足：当时,．这是因为对:①若时,由归纳假设知包含关系成立.②若时,由于,则必有.即,因此由的定义及归纳假设有.③若,则,则必有,即．因此由定义及归纳假设有.因此由归纳原理我们构造了集族满足条件:对,而且随着指标的增加,也随着增大（在包含关系的意义下)．下面，我们令来说明上面的归纳定义集族的过程.在定义了之
4、后,定义于之间使之满足,再定义于之间,使之满足.接着定义于之间使之满足,对于,由于,定义,…至第九步我们定义，由于,因此使满足,….如图6.3.1.第二步,将第一步定义的集族中的指标集扩张成实数空间R中的有理数Q,具体作法是令这样,易验证开集族满足:当个人收集整理勿做商业用途时,．第三步,对,定义,即由所有包含的开集的下标构成.则对任意，必有,(这是因为时，=，因此),且对于,必有,（因为时,=，因此)，因此有下界,从而有下确界,且下确界必属于[０,１]，定义:第四步,验证第三步中定义的映射就是满足要求的映射.（1)设,则对，均有,因此,从而.设,由定义有,且时,，因此对
5、于任意,若必有,因此必有1,因此,从而.(2)先证下面两个结论:()，().如果,由集族定义有对任意,,因此,从而如果,则对任意,因此，从而(３)证明是一个连续映射.设，是一个含有的R中的开区间,我们只需证明存在的邻域使得．为此，取有理数．令，（见图6.３．2）.①是一个开集,这是因为=．②,这是因为,且,由第三步易见,因此．③,这是因为对,则,因此，又,因此，从而,从而（见图６．3.２),从而由习题§3.２.1可知是一个连续映射. 引理说明对于正规空间中的任何两个不相交的闭集,存在连续映射使得,也就是说个人收集整理勿做商业用途可用一个连续函数分离，回想一下正则空间的定
6、义6.４.１和定理６.4．1,我们会有这样一个思考:引理可推广到正则空间中去吗?即就是说对于正则空间中的点及其中不包含的闭集,是否一定存在连续映射使得．由定理6.4.1我们可取为满足的开集,这和定理的证明是一致的，但要(或对于除０,1之外的一个有理数)满足条件,只有的正则性显然是不可能的.为此,将正则空间中的点与不含此点的闭集要用连续映射分离,我们有下面的分离公理:定义６．5.1设是一个拓扑空间,如果对于中任意点和中任何一个不包含点的闭集，存在一个连续映射使得０,以及对于任意1,则称拓扑空间是一个完全正则空间．定理6.３.2空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它
7、一定是一个不可数集.证明设Ｃ是空间X中的一个连通子集．如果C不只包含着一个点,任意选取,x,y∈Ｘ，x≠y,对于空间X中的两个无交的闭集{ｘ}和{y｝，应用Ｕryｓohn引理可见,存在一个连续映射ｆ:X→[0,1］使得f(x)=0,ｆ(ｙ)=1.由于C是X中一个连通子集,因此f(X）也连通.由于０,1∈f(X），因此f（X）=[０,1].由于［0,１］是一个不可数集，因此C也是一个不可数集. 作业:P168 1．
