一类圆锥曲线问题的同曲异工与异曲同工.doc

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1、一类圆锥曲线问题的同曲异工与异曲同工椭圆(双曲线)上任一点与两焦点连线构成的三角形称为焦点三角形,在近几年高考题中一直是考查圆锥曲线的典型问题，理解定义是解此类问题的关键.下面就焦点三角形为直角三角形的一类问题结合近几年高考题给以归类，从中可以看出解决数学问题方法一题多解与多题一解的方法，这要求我们在平时的学习中要善于归纳总结,探寻多种解题思路，总结规律,进而优化解题过程。例1（2000年全国卷）设F1,F2是椭圆+=1的焦点,P是椭圆上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是　　　　　解法一：易知F1（－，0）,F2（，0),设P（x，y)，∠F1PF2为钝角的充要条件为•＜

2、0,=(-－x,0－y），=（－x，0—y)，∴(-－x，0－y)•(－x,0-y）=（—－x)（－x）+(-y）（-y）＜0∴x2－5+y2＜o①又+=1②‚则由①②‚得—＜x＜.解法二：考虑极端情况，∠F1PF2为直角,则点P在以F1F2为直径的圆上，设第一象限圆与椭圆交于点P（x，y），由x2+y2=5,及+=1，得P（，）,由对称性知-＜x＜。解法三：设P(x,y），由焦半径公式得=3+x，=3－x，∵∠F1PF2为钝角,∴2+2＜2,即（3+x）2+（3－x)2＜20，解得x∈（-,）。例2（2005年全国卷）已知双曲线x2－=1的焦点F1，F2，点M在双曲线上，•=0,则点M到x

3、轴的距离为(）（A)（B）（C）（D）解法一：（构造圆)由•=0知，∠F1MF2为直角，则M点在以F1F2为直径的圆上，设圆与双曲线交于点M（x，y），由x2+y2=3,及x2－=1,得=，故选C。解法二：(利用向量垂直）易知F1（－，0),F2(，0），设M(x，y）,由•=0，得（—－x）（－x)+（-y）(—y）=0，即x2+y2=3,又x2－=1，解得=，故选C。解法三：（利用等积性）设点M到x轴的距离为d，由•=0知，∠F1MF2为直角，∴2+2=2=4c2，•=2cd，又，∴2+2－2•=4a2,∴4c2－4cd=4a2,∴d===，故选C。解法四：（利用斜率）易知F1（—，0)

4、，F2（，0），设M（x，y）,∠F1MF2为直角，由题意，x2－=1，解得y2=，=，故选C.•=-1，评析:例一与例二有各自的不同解法,即一题多解，但又有解法上的一致性即多题一解,在高考题中较为多见。类题1：（2001年全国卷)已知双曲线－=1的焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为　　　　　（答案）.类题2:(2007年全国卷II）设F1、F2是双曲线－=1的左、右焦点，若双曲线上存在点A,使∠F1AF2为直角，且=3，，则双曲线的离心率为（A）（B）(C）(D)（答案B）.例3（2001年上海卷）设F1，F2是椭圆+=1的焦点,P是椭圆上的点，已知P

5、,F1，F2是一直角三角形的三个顶点，且〉，则的值为　解法一：由已知+=6,=2，跟据直角的不同位置，分两种情况：若∠PF2F1为直角，则2=2+2，即2=（6－）2+2，解得=，=，故=.若∠F1PF2为直角，则2+2=2，即20=2+（6—）2解得=4，=2，故=2。解法二：由椭圆的对称性，不妨设P（x,y）,（x〉0，y>0），易知F1（－,0）,F2(，0）.跟据直角的不同位置，分两种情况：（1）若为∠PF2F1直角，则P（,），=,=，故=。（2）若∠F1PF2为直角，则+=1，x2+y2=5，解得x=,y=，即P(，)，于是=4，=2，故=2.评析：焦点三角形为直角三角形，焦点所

6、张的角有时不可能为直角，为了避免出错，就一般情况分析如下，由+=1（a〉b>0）,得x2+y2=a2，x2=①,a2－b2>0，x2≥0。当a2=2b2时，即e=时,方程①只有根ｘ=0，椭圆与圆相切，三角形是以椭圆短轴端点为直角顶点的直角三角形。当a2>2b2时，即1>e〉时，方程①有两个实根，椭圆与圆相交,交点为直角顶点，焦点所张角为直角.当a2＜2b2时，即0＜e＜时,方程①无实根，椭圆与圆相离，无交点，焦点所张的角不可能为直角。例4（2004年湖北卷）已知椭圆+=1的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上,若P1,F1，F2为直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（　）（Ａ）　　（

7、Ｂ）３　　（Ｃ）　　(Ｄ)　解:ｅ＝＜,故∠F1PF2不为直角，直角只能为∠PF1F2或∠ＰF2F1，不妨设∠PF1F2为直角.∵+=８，又=2，∴（８－）２＝2＋2＝2＋２８，∴＝，即点P到x轴的距离为，故选Ｄ。