高中数学解题思想方法技巧

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1、taoti.tl100.com你的首选资源互助社区数学破题36计第27计方程开门欲擒故纵●计名释义数学，顾名思义，是关于数的科学.于是，数的运算和求值就成了数学的首要内容.数学的主干内容——函数、方程和不等式都是关于数的内容.方程和函数是从两个不同的方向研究数的关系.从映射的角度看问题，函数研究的是“从数到象”，而方程相反，研究的是“从象到数（原象）”.方程解题步骤：（1）设x.对数（原象x）先作假设；（2）放x.把这个“假”x放到函数（笼子）中去.(3)关x.按函数解析式的运算，列出一个等式——方程（笼子关闭）.(4)擒x，解这个方程

2、，把x抓出来.●典例示范【例1】求二项式展开式中的常数项.【分析】这是数学运算中的“求值”问题，解决问题的工具是函数和方程式，为了设方程，先得找函数.【解答】由二项展开式的通项公式Tr+1=C【插语】在n为常数的条件下，这是一个关于r的函数式T（r)=f(r)【续解】由此得Tr+1=Cr=…=（-1）rCx欲Tr+1为常数，只须=0.【插语】按“函数值”满足的条件，转入方程.【续解】解方程，得r=4.故所求的常数项为T5=(-1)4C=210.【点评】欲擒故纵是方程解题的基本策略.“欲擒”体现了列方程；“故纵”体现于将对象“

3、放到”函数中去“入套”.【例2】求sin20°cos70°+sin10°sin50°的值.【解答】令x=sin20°cos70°+sin10°sin50°，构造与之对应的对偶式y=cos20°sin70°+cos10°cos50°,则x+y=（sin20°cos70°+cos20°sin70°)+(sin10°sin50°+cos10°cos50°)=sin90°+cos40°=1+cos40°①x-y=（sin20°cos70°-cos20°sin70°）+(sin10°sin50°-cos10°cos50°)=sin

4、(20°-70°)+cos(10°+50°)=-cos40°-]②①+②得x=，故sin20°cos70°+sin10°sin50°=.【点评】构造方程组，利用对偶方程组解决问题，是充分借助方程思想解题的方法之一.【例3】已知双曲线C：（1-a2)x2+a2y2=a2(a>1)，设该双曲线上支的顶点为A，且上支与直线y=-xtaoti.tl100.com你的首选资源互助社区相交于P点，一条以A为焦点，M(0,m)为顶点,开口向下的抛物线通过点P.设PM的斜率为k，且≤k≤，求实数a的取值范围.【解答】由双曲线方程知A(0,1),则抛

5、物线方程为x2=-4(m-1)(y-m),由双曲线与直线相交解得点P的坐标为(-a,a)，又因为点P在抛物线上,∴a2=-4(m-1)(a-m)①而MP的斜率为k=，故m=ak+a.将m=ak+a代入①得a2=-4(ak+a-1)(-ak),即4ak2+4(a-1)k-a=0②根据题意,方程②在区间[，]上有实根.令f(k)=4ak2+4(a-1)k-a，则其对称轴方程为k=<0∴≤a≤4.∴实数a的取值范围为［,4］.【点评】根据直线与圆锥曲线的位置关系,构造含参数的方程,转化为根的分布问题求解.【例4】（Ⅰ）已知数

6、列{cn}，其中cn=2n+3n，且数列{cn+1-pcn}为等比数列，求常数p的值；（Ⅱ）设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn，求证：数列{cn}不是等比数列.【解答】（Ⅰ）由题意知c2-pc1，c3-pc2，c4-pc3成等比数列，∴(c3-pc2)2=(c2-pc1)(c4-pc3)，展开整理得(c22-c1c3)p2+(c1c4-c2c3)p+c23-c2c4=0.将c1=5，c2=13，c3=35，c4=97代入上式得p2=-5p+6=0，解得p=2或p=3.而当p=2时,=3;当p=3时，=2

7、.均适合.故满足条件的p的值为2或3.（Ⅱ）假设数列{cn}是等比数列，则c22=c1c3，即(a2+b2)2=(a1+b1)(a3+b3)，故(a1q+b1r)2=(a1+b1)(a1q2+b1r2)，其中q，r分别是{an}，{bn}的公比.化简整理，得a1b1r2+a1b1q2-2a1b1qr=0，即(q-r)2=0，解得q=r.这与题设中两数列公比不相等矛盾，因此数列{cn}不是等比数列.【点评】这里选取等比数列的前三项，根据等比中项的意义列方程求出p的值，再验证一般情况.第(Ⅱ)问的反证法中，也是通过构建方程获证.●

8、对应训练1.设(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+a3+a5=.2.已知椭圆=1(a>b>0)，A,B的椭