2021_2022学年高中数学第3章不等式3.1基本不等式讲义教案北师大版必修5.doc

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1、高考§3　基本不等式3．1　基本不等式学习目标核心素养1．了解基本不等式的证明过程及其几何解释．(难点)2．了解算术平均数，几何平均数的定义．(重点)3．会用基本不等式推出与基本不等式有关的简单不等式．(重点)1．通过基本不等式的推导，培养逻辑数学素养．2．通过基本不等式的应用，提升数学运算素养．1．基本不等式阅读教材P88～P89阅读材料以上部分，完成下列问题．(1)基本不等式如果a，b都是非负数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，称上述不等式为基本不等式，其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数，该不等式又被称为均值不等式．(2)

2、基本不等式的文字叙述两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．(3)意义①几何意义：半径不小于半弦．②数列意义：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．-8-/8高考思考：(1)不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)成立吗？如何证明？[提示]　成立，证明如下：由a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，知a2＋b2≥2ab．(2)当x，y满足什么条件时，≥？[提示]　当lgx≥0，且lgy≥0，即x≥1，且y≥1时，不等式成立．2．基本不等式的证明一般地，对于任意实数a，b，我们有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．特别地，如果a>0

3、，b>0，我们用，分别代替a，b可得a＋b≥2，通常我们把上式写作≤(a>0，b>0)．下面我们来证明一下：要证　≥，①只要证　a＋b≥2，②要证②只要证a＋b－2≥0，③要证③只要证(－)2≥0，④显然④成立，当且仅当a＝b时④中的等号成立．1．给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0，其中能使＋≥2成立的条件有(　　)A．1个　　　　　　B．2个C．3个D．4个C[当，均为正数时，＋≥2，故只须a、b同号即可，∴①③④均可以．]2．不等式x＋4≥4(x＞0)中等号成立的条件是．-8-/8高考x＝4[由a＋b≥2

4、(a＞0，b＞0)中等号成立的条件是a＝b知x＝4．]3．比较大小：x．≥[在不等式≥ab中令a＝x，b＝，可得≥x，当x＝时等号成立．]4．设常数a>0，若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立，则a的取值X围是．[由题意知，当x>0时，ƒ(x)＝9x＋≥2＝6a≥a＋1⇒a≥．]利用基本不等式比较大小【例1】　已知00，b>0，所以a＋b≥2，a2＋b2≥2ab，所以四个数中最大数应为a＋b或a2＋b2．又因为0

5、a＋b2－b＝a(a－1)＋b(b－1)<0，所以a2＋b20，b>0，试比较，，，的大小，并说明理由．[解]因为a>0，b>0，所以＋≥；即≥(当且仅当a＝b时取等号)，又＝≤＝，所以≤(当且仅当a＝b时等号成立)，而≤，故≥≥≥(当且仅当a

6、＝b时等号成立)．用基本不等式证明不等式【例2】　已知x，y都是正数．求证：(1)＋≥2；(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3．[证明](1)∵x，y都是正数，∴＞0，＞0，∴＋≥2＝2，即＋≥2，当且仅当x＝y时，等号成立．(2)∵x，y都是正数，∴x＋y≥2＞0，-8-/8高考x2＋y2≥2＞0，x3＋y3≥2＞0．∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3，即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，当且仅当x＝y时，等号成立．利用基本不等式证明不等式的注意点(1)在利用基本不等式证明时，

7、要注意查看基本不等式成立的条件是否满足，若所证明的不等式中含有等号，还要注意等号是否能成立.(2)在证明过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项，或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便利用基本不等式.2．已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc．[证明](1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)≥2·2·2＝8abc．当且仅当b＝c＝a＝时，等号成立．基本不等式≥的几何解释[探究问题]1．如何用a，b表示PQ、OP的长度？[提示]　由射影定理可知PQ＝，而OP＝AB＝．2．通过OP

8、与PQ的大小关系，你能得出怎样的不等式？如图所示，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ-8-/8高考垂