专题65 直线与圆锥曲线的位置关系(解析版).docx

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1、高考专题65　直线与圆锥曲线的位置关系专题知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)当a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：①Δ>0⇔直线与圆锥曲线__相交__；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线__相切__；③Δ＜0⇔直线与圆锥曲线__相离__．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是__平行__

2、；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是__平行或重合__．2．解决圆锥曲线问题的思路与方法(1)求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程主要是求a，b，c或p，基本方法是利用定义或利用待定系数法求解．(2)直线和圆锥曲线的位置关系，可转化为直线与圆锥曲线方程的公共解问题，体现了方程的思想，数形结合、分类讨论、等价转化等也是解决圆锥曲线位置关系以及有关综合问题的常用思想方法．3．弦长问题高考求直线与圆锥曲线相交所得的弦长公式：设两个交点为，则弦长．考点探究考向1　直线与圆锥曲线的位置关系【例】　（2019某某高三期中

3、）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的下顶点为，点是椭圆上异于点的动点，直线分别与轴交于点，且点是线段的中点．当点运动到点处时，点的坐标为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交轴于点，当点均在轴右侧，且时，求直线的方程．xyOBNMPQD【解析】（1）由，得直线的方程为．高考令，得点的坐标为．所以椭圆的方程为．将点的坐标代入，得，解得．所以椭圆的标准方程为．（2）方法一：设直线的斜率为，则直线的方程为．在中，令，得，而点是线段的中点，所以．所以直线的斜率．联立，消去，得，解得．用代，得．又，所以，得．故，又，解得．所以直线的

4、方程为．高考方法二：设点的坐标分别为．由，得直线的方程为，令，得．同理，得．而点是线段的中点，所以，故．又，所以，得，从而，解得．将代入到椭圆C的方程中，得．又，所以，即，解得（舍）或．又，所以点的坐标为．故直线的方程为．题组训练高考1.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A(－2，0)，离心率为，过点A的直线l与椭圆E交于另一点B，点C为y轴上的一点．(1)求椭圆E的标准方程；(2)若△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．【解析】　(1)由题意可得：，即，从而有b2

5、＝a2－c2＝3，所以椭圆E的标准方程为：＋＝1.　(2)设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入＋＝1，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，因为x＝－2为该方程的一个根，解得B(，)，设C(0，y0)，由kAC·kBC＝－1，得：·＝－1，即：(3＋4k2)y02－12ky0＋(16k2－12)＝0(*)·由AC＝BC，即AC2＝BC2，得4＋y＝()2＋(y0－)2，即4＝()2＋()2－y0，即4(3＋4k2)2＝(6－8k2)2＋144k2－24k(3＋4k2)y0，所以k＝0或y0＝，当k＝0时，

6、直线l的方程为y＝0，当y0＝时，代入(*)得16k4＋7k2－9＝0，解得k＝±，此时直线l的方程为y＝±(x＋2)．综上，直线l的方程为y＝0，y＝±(x＋2)．高考考向2　圆锥曲线中的最值、X围问题【例】　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为6.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N.(ⅰ)当直线的PA斜率为时，求△FMN的外接圆的方程；(ⅱ)设直线AN

7、交椭圆C于另一点Q，求△APQ的面积的最大值．【解析】　(1)由题意，得解得则b＝2，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.　(2)由题可设直线PA的方程为y＝k(x＋4)，k>0，则M(0，4k)，所以直线FN的方程为y＝(x－2)，则N(0，－)．(i)当直线PA的斜率为，即k＝时，M(0，2)，N(0，－4)，F(2，0)，因为MF⊥FN，所以圆心为(0，－1)，半径为3，所以△FMN的外接圆的方程为x2＋(y＋1)2＝9.(ii)联立高考消去y并整理得，(1＋2k2)x2＋16k2x＋32k2－16＝0，解得x1＝－4或x

8、2＝，所以P(，)，直线AN的方程为y＝－(x＋4)，同理可得，Q(，－)，所以P，Q关于原点对称，即PQ过原点．所以△APQ的面积S＝OA·(yP－yQ)＝2×＝≤8，当且仅当2k＝，即k＝时，取“＝”．所以△APQ的面积的最大值为8.题组训练1.如图，椭圆＋＝1(a>b>0)过点P(1，)，其左、右