2021届高三复习专练 16利用空间向量求角.docx

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1、高考内部特供精优资料Word版1163173836高中数学探究群56229849516利用空间向量求角1、利用空间向量求异面直线所成角例1：如图1四边形与四边形分别为正方形和等腰梯形，，，，沿边将四边形折起，使得平面平面，如图2，动点在线段上，分别是，的中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图以为坐标原点建立空间直角坐标系，由题意可得，，，，，动点在线段上，则可设，，，，，高考内部特供精优资料Word版1163173836高中数学探究群562298495令，，则，则，当时，取最大值．2、利用空

2、间向量求直线与平面所成角例2：在正方体中，为线段的中点，点在线段上，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是（）A．B．C．D．高考内部特供精优资料Word版1163173836高中数学探究群562298495【答案】B【解析】设正方体的边长为，以、、分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，，，设，，则，设平面的一个法向量为，则，可得，令，则，，所以，设直线与平面所成角为，则，当时，取最大值为；高考内部特供精优资料Word版1163173836高中数学探究群562298495当或时，取最小值为，故直线与平面所成角的正弦值的取值范

3、围是．3、利用空间向量求二面角例3：如图所示，菱形与正三角形的边长均为，它们所在的平面互相垂直，平面且．（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）过点作，连接，，因为平面平面，平面，平面平面，所以平面，高考内部特供精优资料Word版1163173836高中数学探究群562298495因为，，所以，，故平行四边形，所以，由平面，平面，所以平面．（2）连接，根据题意，，如图：以为原点，，，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，则，，，设平面的法向量为，，得；设平面的法向量为，由，得，高考内部特

4、供精优资料Word版1163173836高中数学探究群562298495由，所以二面角的余弦值为．一、选择题1．正方体中，动点在线段上，，分别为，的中点．若异面直线与所成的角为，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图：高考内部特供精优资料Word版1163173836高中数学探究群562298495设，易得，设，，设，即．当时，取到最大值；当时，取到最小值，所以的取值范围为．2．如图，在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角

5、为，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B高考内部特供精优资料Word版1163173836高中数学探究群562298495【解析】以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，的最大值为．3．在三棱锥中，平面平面，，，，是的中点．设，若，则二面角的余弦值的范围为（）高考内部特供精优资料Word版1163173836高中数学探究群562298495A．B．C．D．【答案】D【解析】平面平面，平面平面，，平面，所以平面，，在平面作直线垂直直线，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，在，，易求边上的高为

6、，线段在上的投影长为，高考内部特供精优资料Word版1163173836高中数学探究群562298495所以，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，令，则平面的一个法向量为，，，，设二面角为，，，高考内部特供精优资料Word版1163173836高中数学探究群562298495显然是关于的减函数，时，；时，．二、解答题4．如图，在三棱锥中，已知、都是边长为的等边三角形，为中点，且平面，为线段上一动点，记．（1）当时，求异面直线与所成角的余弦值；（2）当二面角的余弦值时，求的值．

7、【答案】（1）；（2）．【解析】连接，为的中点，是等边三角形，则，高考内部特供精优资料Word版1163173836高中数学探究群562298495以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系．则，，，，因为为线段上一动点，且，其中，则．（1）当时，，，，，因此，异面直线与所成角的余弦值是．（2）设平面的一个法向量为，，，高考内部特供精优资料Word版1163173836高中数学探究群562298495由，即，令，可得，则，设平面的一个法向量为，，由，得，令，则，，则，设二面角的平面角为，则，整理得，，解得．5．如图，在三

8、棱锥中，平面平面，，，若为的中点．高考内部特供精优资料Word版1163173836高中数学探究群562298495（1）证明：平面；（2）求异面直线和所成角；（3）设线段上有一点，当与平面所成角的正弦值为