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时间:2021-04-11
《2021届高三复习专练 16利用空间向量求角.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、高考内部特供精优资料Word版1163173836高中数学探究群56229849516利用空间向量求角1、利用空间向量求异面直线所成角例1:如图1四边形与四边形分别为正方形和等腰梯形,,,,沿边将四边形折起,使得平面平面,如图2,动点在线段上,分别是,的中点,设异面直线与所成的角为,则的最大值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】如图以为坐标原点建立空间直角坐标系,由题意可得,,,,,动点在线段上,则可设,,,,,高考内部特供精优资料Word版1163173836高中数学探究群562298495令,,则,则,当时,取最大值.2、利用空
2、间向量求直线与平面所成角例2:在正方体中,为线段的中点,点在线段上,则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是()A.B.C.D.高考内部特供精优资料Word版1163173836高中数学探究群562298495【答案】B【解析】设正方体的边长为,以、、分别为轴,建立空间直角坐标系,如图所示:则,,,,,,设,,则,设平面的一个法向量为,则,可得,令,则,,所以,设直线与平面所成角为,则,当时,取最大值为;高考内部特供精优资料Word版1163173836高中数学探究群562298495当或时,取最小值为,故直线与平面所成角的正弦值的取值范
3、围是.3、利用空间向量求二面角例3:如图所示,菱形与正三角形的边长均为,它们所在的平面互相垂直,平面且.(1)求证:平面;(2)若,求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)过点作,连接,,因为平面平面,平面,平面平面,所以平面,高考内部特供精优资料Word版1163173836高中数学探究群562298495因为,,所以,,故平行四边形,所以,由平面,平面,所以平面.(2)连接,根据题意,,如图:以为原点,,,为轴建立空间直角坐标系,则,,,,则,,,设平面的法向量为,,得;设平面的法向量为,由,得,高考内部特
4、供精优资料Word版1163173836高中数学探究群562298495由,所以二面角的余弦值为.一、选择题1.正方体中,动点在线段上,,分别为,的中点.若异面直线与所成的角为,则的取值范围为()A.B.C.D.【答案】A【解析】以点为原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图:高考内部特供精优资料Word版1163173836高中数学探究群562298495设,易得,设,,设,即.当时,取到最大值;当时,取到最小值,所以的取值范围为.2.如图,在四棱柱中,底面为正方形,侧棱底面,,,是侧面内的动点,且,记与平面所成的角
5、为,则的最大值为()A.B.C.D.【答案】B高考内部特供精优资料Word版1163173836高中数学探究群562298495【解析】以所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,设,则,,,,,,,,的最大值为.3.在三棱锥中,平面平面,,,,是的中点.设,若,则二面角的余弦值的范围为()高考内部特供精优资料Word版1163173836高中数学探究群562298495A.B.C.D.【答案】D【解析】平面平面,平面平面,,平面,所以平面,,在平面作直线垂直直线,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设,则,在,,易求边上的高为
6、,线段在上的投影长为,高考内部特供精优资料Word版1163173836高中数学探究群562298495所以,,,,,,,设平面的一个法向量为,则,即,令,则平面的一个法向量为,设平面的一个法向量为,则,即,令,则平面的一个法向量为,,,,设二面角为,,,高考内部特供精优资料Word版1163173836高中数学探究群562298495显然是关于的减函数,时,;时,.二、解答题4.如图,在三棱锥中,已知、都是边长为的等边三角形,为中点,且平面,为线段上一动点,记.(1)当时,求异面直线与所成角的余弦值;(2)当二面角的余弦值时,求的值.
7、【答案】(1);(2).【解析】连接,为的中点,是等边三角形,则,高考内部特供精优资料Word版1163173836高中数学探究群562298495以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系.则,,,,因为为线段上一动点,且,其中,则.(1)当时,,,,,因此,异面直线与所成角的余弦值是.(2)设平面的一个法向量为,,,高考内部特供精优资料Word版1163173836高中数学探究群562298495由,即,令,可得,则,设平面的一个法向量为,,由,得,令,则,,则,设二面角的平面角为,则,整理得,,解得.5.如图,在三
8、棱锥中,平面平面,,,若为的中点.高考内部特供精优资料Word版1163173836高中数学探究群562298495(1)证明:平面;(2)求异面直线和所成角;(3)设线段上有一点,当与平面所成角的正弦值为
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