第2讲　数列求和及综合应用.pptx

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1、第2讲　数列求和及综合应用高考定位1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.1.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn＝2an＋1，则S6＝________.解析　法一因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的

2、等比数列，所以an＝－2n－1.真题感悟法二由Sn＝2an＋1，得S1＝2S1＋1，所以S1＝－1，当n≥2时，由Sn＝2an＋1得Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即Sn＝2Sn－1－1，∴Sn－1＝2(Sn－1－1)，又S1－1＝－2，∴{Sn－1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以Sn－1＝－2×2n－1＝－2n，所以Sn＝1－2n，∴S6＝1－26＝－63.答案－632.(2017·全国Ⅲ卷)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通项公式；解(1)因为a1＋3a2

3、＋…＋(2n－1)an＝2n，①故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，②①－②得(2n－1)an＝2，又n＝1时，a1＝2适合上式，3.(2019·天津卷)设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0.已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3.(1)求{an}和{bn}的通项公式；解(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q>0).故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3×3n－1＝3n.所以{an}的通项公式为an＝3n，{bn}的通项公式为

4、bn＝3n.(2)a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2b1＋a4b2＋a6b3＋…＋a2nbn)记Tn＝1×31＋2×32＋…＋n×3n，①则3Tn＝1×32＋2×33＋…＋n×3n＋1，②②－①得，2Tn＝－3－32－33－…－3n＋n×3n＋12.数列求和(1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.(2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，

5、{bn}分别是等差数列和等比数列.考点整合3.数列与函数、不等式的交汇数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查不等关系或恒成立问题.解(1)因为an＝5Sn＋1，n∈N*，所以an＋1＝5Sn＋1＋1，(2)由(1)知bn＝－1－log2

6、an

7、＝2n－1，数列{bn}的前n项和Tn＝n2，探究提高给出Sn与

8、an的递推关系求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.【训练1】(2019·济南调研)已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)由(1)知，bn＝log2an＝log22n－1＝n－1，于是数列{bn}是首项为0，公差为1的等差数列.热点二　数列的求和角度1分组转化法求和【例2－1】(2019·石家庄调研)已知数列{an}是等差数列，且

9、a8＝1，S16＝24.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若数列{bn}是递增的等比数列且b1＋b4＝9，b2b3＝8，求(a1＋b1)＋(a3＋b3)＋(a5＋b5)＋…＋(a2n－1＋b2n－1).∴an＝－6＋(n－1)×1＝n－7.(2)∵数列{bn}是递增的等比数列，由b2b3＝8，得b1b4＝8，①又b1＋b4＝9，②联立①，②得b1＝1，b4＝8.因此公比q＝2，则bn＝2n－1，∴(a1＋b1)＋(a3＋b3)＋(a5＋b5)＋…＋(a2n－1＋b2n－1)＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)

10、＋(b1＋b3＋…＋b2n－1)＝(－6－4－2＋…＋2n－8)＋(1＋4＋16＋…＋4n－1)探究提高1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n的奇偶进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式.2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组