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1、专题21抛物线【考点命题趋势分析】1专题综述本专题主要内容包括抛物线的定义、标准方程及简单的几何性质.纵观近几年的高考试题可知，抛物线的考题有客观题(一般5分)，也有解答题(10分或12分或14分或15分)，难度中等偏上.其中，客观题中突出考查抛物线的定义、标准方程及其基本性质的应用，解答题中主要考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系、弦长公式、导数的几何意义等.高考数学试题(含文科卷和理科卷，其中江苏卷、浙江卷和上海文理合卷)中，与抛物线有关的试题共有11道，基本上是直线与抛物线的位置的综合问题，或抛物线与其他知识(如椭圆、双曲线等
2、)的交汇问题；考题以抛物线为载体考查了数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等数学素养，考查了数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想方法，以及灵活运用所学知识分析问题和解决问题的能力.典型例题与解题方法2范例赏析2.1抛物线的定义、标准方程及简单的几何性质抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化.因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，以简化运算.解决圆锥曲线问题的主要方法是坐标法，即建立平面直角坐标系，解决几
3、何问题.通过建立坐标系，根据抛物线的定义，可得抛物线的标准方程.求抛物线的标准方程时要“先定位，后定量”.所谓“定位”就是确定抛物线焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴、是正半轴还是负半轴，从而设出相应的标准方程的形式；所谓“定量”就是根据题目的条件求出方程中参数p的值，从而得到抛物线的标准方程.有了抛物线的方程，则可以利用代数的方法研究抛物线的几何性质(如范围、对称性、顶点、焦半径公式等).例1已知F是抛物线C:y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则
4、FN
5、=.33/33思路探求:由于点M在抛物线C
6、上，因此可用抛物线的定义或抛物线的方程来解决此题.解法1:因为抛物线C的方程为y2=8x，所以F(2，0)，设Mx1,y1,N0,y0，则x1=1,y1=y02，即M1,y02.因为M在抛物线上，所以y024=8，即y02=32，所以
7、FN
8、=(0-2)2+y0-02=6.解法2:因为F(2，0)，设Mx1,y1,N0,y0，且M为FN的中点，则x1=1，又M在抛物线上，则由抛物线的定义知MF=x1+p2=3，所以
9、FN
10、=2
11、FM
12、=6.方法点睛:解法1利用抛物线上点的坐标是抛物线方程的解这一代数特征，从纯代数角度进行运算解法2则利
13、用抛物线的定义将MF转化为点M到准线的距离，简化了计算过程，体现了转化与化归思想和数形结合思想的应用.如果抛物线问题中涉及抛物线的焦点和准线，又与距离有关，那么就可考虑用抛物线定义来处理.2.2直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系问题是解析几何的核心内容之一，是高考考查的热点.由于此类问题不仅涉及几何知识，也涉及代数知识，综合性强，对学生能力要求较高.从几何角度来看，直线与抛物线的公共点个数有三类:无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点.从代数角度看，联立直线和抛物线的方程构成的方程组的解的个数分别为0个、1个和2个.因
14、此直线与抛物线的位置关系的研究方法可通过代数法(即解方程组)来研究，因为方程组解的个数和交点个数是一致的.但需要注意的是，与抛物线的对称轴平行或重合的直线与抛物线有且只有一个公共点，但并不是相切，而是相交.直线与抛物线的位置关系的综合问题主要有以下几类:①直线与抛物线的公共点个数问题，应注意数形结合；②弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决；③垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算；④抛物线的切线问题，应结合导数的几何意义或联立方程消元后利用判别式处理.例2设A，B为曲线C:y=x24上两点，A与B的横坐标之
15、和为4.(I)求直线AB的斜率；(Ⅱ)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.思路探求:(I)欲求直线AB的斜率，可先设出Ax1,y1,Bx2,y2x1≠x2，由直线斜率公式结合点在抛物线上，可将直线33/33AB的斜率转为A，B的横坐标之和的表示形式，即直线AB的斜率k=y2-y1x2-x1=x224-x124x2-x1=x2+x14=1.(Ⅱ)先根据导数几何意义得M点坐标，再根据直角三角形性质得
16、AB
17、=2
18、MN
19、(AB的中点为N)，设出直线AB的方程与抛物线方程联立，利用两点间距离公式以
20、及弦长公式列方程求解.由y=x24，得y'=x2.设Mx3,y3，由题设知x32=1，解得x3=2，于是M(2，1).设直线AB的方程为y=x+m，故线段AB的中点为N(2，2+m)，
21、MN
22、=
23、m+1
24、.将y=x+m代
