2021届新高考数学二轮复习微专题核心考点突破03导数研究函数的单调性（解析版）.docx

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1、专题03导数研究函数的单调性【考点命题趋势分析】函数是高中数学中极为重要的内容，而导数则是研究函数性质的重要且有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析.同时利用导数研究函数的单调性是导数的最基本、最重要的应用之一，是进一步研究函数的极值、最值等其他重要性质的基础.利用导数求函数的单调性的关键是解不等式，特别是含有参数的不等式既是重点，也是难点.典型例题与解题方法【题型一】不含参数的函数的单调性【典型例题】已知函数f(x)=lnxx，则f（x）的增区间为（　　）A．（0，1）B．（0，e）C．（1，+∞）D．（e，+∞）【解答】解：易知函数f（x）的

2、定义域为（0，+∞），又f'(x)=1-lnxx2，令f′（x）＞0，解之得0＜x＜e，故选：B．【再练一题】用导数求单调区间：f（x）=x2+3x+1x2+1．【解答】解：∵f（x）=x2+3x+1x2+1=1+3xx2+1，∴f′（x）=3(x2+1)-3x×2x(x2+1)2=3-3x2(x2+1)2＞0，∴﹣1＜x＜1，∴函数的单调增区间是（﹣1，1），单调减区间是（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）．思维升华确定函数单调区间的步骤33/33(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)．(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．(4)解不等式f′(x)

3、<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．【题型二】含参数的函数的单调性【典型例题】求下列函数的单调区间，并求[1，e]上的最值．（1）f（x）＝lnx﹣ax；（2）f（x）＝ax2﹣2lnx3；（3）f（x）＝ex﹣ax﹣1，求单调区间．【解答】解：（1）f（x）＝lnx﹣ax，∴f′（x）=1x-a，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴函数f（x）在[1，e]上单调递增，∴f（x）max＝f（e）＝1﹣ae，f（x）min＝f（1）＝﹣a，当a＞0时，f′（x）=1x-a=1-axx，令f′（x）＝0，解得x=1a，当f′（x）＞0，即0

4、＜x＜1a时，函数单调递增，当f′（x）＜0，即x＞1a时，函数单调递减，33/33∴函数f（x）在（0，1a）上单调递增，在（1a，+∞）上单调递减，当x=1a时，函数有极大值，即极大值为f（1a）＝﹣1﹣lna①当1a≤1时，即a≥1时，函数f（x）在[1，e]上单调递减，∴f（x）min＝f（e）＝1﹣ae，f（x）max＝f（1）＝﹣a，②当1a≥e时，即0＜a≤1e时，函数f（x）在[1，e]上单调递增，∴f（x）max＝f（e）＝1﹣ae，f（x）min＝f（1）＝﹣a，③1＜1a＜e时，即1e＜a＜1时，函数f（x）在[1，1a）上单调递增，在（1a，e]上单调递减，

5、∴f（x）max＝f（1a）＝﹣1﹣lna，f（1）＝﹣a，f（e）＝1﹣ae，当1e-1＜a＜1，f（1）＞f（e），故f（x）min＝f（e）＝1﹣ae，当1e＜a≤1e-1时，f（1）≤f（e），故f（x）min＝f（1）＝﹣a；（2）f（x）＝ax2﹣2lnx3＝ax2﹣6lnx，∴f′（x）＝2ax-6x=2(ax2-3)x，当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴函数f（x）在[1，e]上单调递减，∴f（x）min＝f（e）＝ae2﹣6，f（x）max＝f（1）＝a，33/33当a＞0时，令f′（x）＝0，解得x=3aa，当f′（x）

6、＜0，即0＜x＜3aa时，函数单调递减，当f′（x）＞0，即x＞3aa时，函数单调递减，∴函数f（x）在（0，3aa）上单调递减，在（3aa，+∞）上单调递增，当x=3aa时时，函数有极小值，即极小值为f（3aa）=a23-3lna3，①当3aa≤1时，即a≥3时，函数f（x）在[1，e]上单调递增，∴f（x）max＝f（e）＝ae2﹣6，f（x）min＝f（1）＝a，②当3aa≥e时，即0＜a≤3e2时，函数f（x）在[1，e]上单调递减，∴f（x）max＝f（1）＝a，f（x）min＝f（e）＝ae2﹣6，③1＜3aa＜e时，即3e2＜a＜3时，函数f（x）在[1，3aa）上单

7、调递减，在（3aa，e]上单调递增，∴f（x）min＝f（3aa）=a23-3lna3，f（1）＝a，f（e）＝ae2﹣6，当6e2-1＜a＜3，f（1）＞f（e），故f（x）max＝f（1）＝a，当3e2＜a＜6e2-1＜a＜3，f（1）＜f（e），故f（x）max＝f（e）＝ae2﹣6；（3）f（x）＝ex﹣ax﹣1，∴f′（x）＝ex﹣a，33/33当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴函数f（x）在[1，e]上单调递增，∴