专题45 数列的综合应用(解析版).docx

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1、优选专题45数列的综合应用专题知识梳理1.数列可以与函数、方程、不等式、三角函数、平面向量、解析几何等组成综合问题，灵活地运用等差、等比数列的相关知识分析问题、解决问题是关键，当然借助一定的函数、不等式基础知识。2．解答数列应用题的基本步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意；(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征，看它属于等差数列模型、还是等比数列模型，还是递推数列的模型；(3)求解——求出该问题的数学解；(4)还原——检验结果是否符合题意，并将所求结果还原到原

2、实际问题中．考点探究考向1　与等差、等比数列相关的综合问题【例】（调研）已知数列{an}是公差为正数的等差数列，其前n项和为Sn，且a2·a3＝15，S4＝16．（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列{bn}满足b1＝a1，bn＋1－bn＝．1）求数列{bn}的通项公式；2）是否存在正整数m，n(m≠n)，使得b2，bm，bn成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存15/15优选在，请说明理由．【解析】（1）设数列{an}的公差为d，则d＞0．由a2·a3＝15，S4＝16，得解得或（舍去）所以an＝2n－1．（2）1

3、）因为b1＝a1，bn＋1－bn＝，所以b1＝a1＝1，bn+1－bn＝＝＝(－)，即b2－b1＝(1－)，b3－b2＝(－)，……bn－bn－1＝(－)，（n≥2）累加得：bn－b1＝(1－)＝，所以bn＝b1＋＝1＋＝．b1＝1也符合上式．故bn＝，n∈N*．2）假设存在正整数m、n(m≠n)，使得b2，bm，bn成等差数列，则b2＋bn＝2bm．又b2＝，bn＝＝－，bm＝－，15/15优选所以＋(－)＝2(－)，即＝＋，化简得：2m＝＝7－．当n＋1＝3，即n＝2时，m＝2，（舍去）；当n＋1＝9，即n＝8时，m＝3

4、，符合题意．所以存在正整数m＝3，n＝8，使得b2，bm，bn成等差数列．题组训练1.已知数列{an}满足a1＝1，

5、an＋1－an

6、＝pn，n∈N*.(1)若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；(2)若p＝，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．【解析】　(1)∵{an}是递增数列，∴an＋1－an＝

7、an＋1－an

8、＝pn.而a1＝1，因此a2＝p＋1，a3＝p2＋p＋1.又a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2＝a1＋3a3，因而3p2－p＝0，解得p

9、＝或p＝0.当p＝0时，an＋1＝an，这与{an}是递增数列矛盾，故p＝.　(2)由于{a2n－1}是递增数列，因而a2n＋1－a2n－1>0，于是(a2n＋1－a2n)＋(a2n－a2n－1)>0.①　但<，∴

10、a2n＋1－a2n

11、<

12、a2n－a2n－1

13、.②由①②知，a2n－a2n－1>0，因此a2n－a2n－1＝＝.③15/15优选∵{a2n}是递减数列，同理可得，a2n＋1－a2n<0，故a2n＋1－a2n＝－＝.④由③④即知，an＋1－an＝.于是an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)

14、＝1＋－＋…＋＝1＋·＝＋·.故数列{an}的通项公式为an＝＋·.2.已知数列满足a1＝－1，a2＝1，且an＋2＝an(n∈N*)．(1)求a5＋a6的值；(2)设Sn为数列的前n项的和，求Sn；(3)设bn＝a2n－1＋a2n，是否存正整数i，j，k(i

15、(2)①当n＝2k时，Sn＝S2k＝(a1＋a3＋…＋a2k－1)＋(a2＋a4＋…＋a2k)＝＋15/15优选＝2[()k＋()k]－4＝2[()＋()]－4.②当n＝2k－1时，Sn＝S2k－a2k＝2[()k＋()k]－4－()k－1＝2×()k－1＋()k－1－4＝2×()＋()－4.∴，Sn＝　(3)由(1)，得bn＝a2n－1＋a2n＝n－1－n－1≥0(仅b1＝0且递增)．∵k>j，且k，j∈Z，∴k≥j＋1.①当k≥j＋2时，bk≥bj＋2，若bi，bj，bk成等差数列，则bi＝2bj－bk≤2bj－bj＋2

16、＝2－＝－×j－1－×j－1<0，此与bn≥0矛盾．故此时不存在这样的等差数列．②当k＝j＋1时，bk＝bj＋1，若bi，bj，bk成等差数列，则bi＝2bj－bk＝2bj－bj＋1＝2－＝×()j－1－×()j－1，又∵i